82-sc-r4 問題3 問2

(1) 让我们假设总人口为 $N$。

首先，我们定义以下变量：

• 罹患病的人口比例为 $p=\frac{1}{2}=0.5$。
• 罹患病的人被检测为阳性的概率为 $P(\text{阳性}|\text{罹患})=0.6$。
• 没有罹患病的人被错误检测为阳性的概率为 $P(\text{阳性}|\text{未罹患})=0.04$。

现在，我们需要计算在检测阳性的情况下，实际罹患的概率，即 $P(\text{罹患}|\text{阳性})$。根据贝叶斯定理，我们有：
$P(\text{罹患}|\text{阳性})=\frac{P(\text{阳性}|\text{罹患})\cdot P(\text{罹患})}{P(\text{阳性})}$

其中，$P(\text{阳性})$ 可以通过全概率公式计算得到：
$P(\text{阳性})=P(\text{阳性}|\text{罹患})\cdot P(\text{罹患})+P(\text{阳性}|\text{未罹患})\cdot P(\text{未罹患})$
$=0.6\cdot 0.5+0.04\cdot 0.5$
$=0.3+0.02$
$=0.32$

因此，
$P(\text{罹患}|\text{阳性})=\frac{0.6\cdot 0.5}{0.32}=\frac{0.3}{0.32}=\frac{30}{32}=\frac{15}{16}\approx 0.9375$

所以，当检测结果为阳性时，实际罹患的概率约为 93.75%。

(2) 现在假设罹患病的人口比例下降到 5%，即 $p=0.05$。

我们仍然使用贝叶斯定理计算初次检测阳性时的实际罹患概率：
$P(\text{罹患}|\text{阳性})=\frac{P(\text{阳性}|\text{罹患})\cdot P(\text{罹患})}{P(\text{阳性})}$

$P(\text{阳性})$ 现在为：
$P(\text{阳性})=P(\text{阳性}|\text{罹患})\cdot P(\text{罹患})+P(\text{阳性}|\text{未罹患})\cdot P(\text{未罹患})$
$=0.6\cdot 0.05+0.04\cdot 0.95$
$=0.03+0.038$
$=0.068$

因此，
$P(\text{罹患}|\text{阳性})=\frac{0.6\cdot 0.05}{0.068}=\frac{0.03}{0.068}\approx 0.4412$

所以，初次检测阳性时，实际罹患的概率约为 44.12%。

我们需要多次检测阳性后，使罹患概率达到 90%以上。假设每次检测都是独立的，那么检测 n 次阳性后的罹患概率为：
$P(\text{罹患}|\text{n 次阳性})=\frac{P(\text{n 次阳性}|\text{罹患})\cdot P(\text{罹患})}{P(\text{n 次阳性})}$

其中，
$P(\text{n 次阳性})=P(\text{n 次阳性}|\text{罹患})\cdot P(\text{罹患})+P(\text{n 次阳性}|\text{未罹患})\cdot P(\text{未罹患})$

我们计算连续 n 次阳性的概率：
$P(\text{n 次阳性}|\text{罹患})=0.6^n$
$P(\text{n 次阳性}|\text{未罹患})=0.04^n$

因此，
$P(\text{n 次阳性})=0.6^n\cdot 0.05+0.04^n\cdot 0.95$

目标是：
$P(\text{罹患}|\text{n 次阳性})\ge 0.9$

所以：
$\frac{0.6^n\cdot 0.05}{0.6^n\cdot 0.05+0.04^n\cdot 0.95}\ge 0.9$

解这个不等式：
$0.6^n\cdot 0.05\ge 0.9\cdot (0.6^n\cdot 0.05+0.04^n\cdot 0.95)$
$0.6^n\cdot 0.05\ge 0.54\cdot 0.6^n\cdot 0.05+0.036\cdot 0.04^n\cdot 0.95$
$0.6^n\cdot 0.05-0.54\cdot 0.6^n\cdot 0.05\ge 0.036\cdot 0.04^n\cdot 0.95$
$0.046\cdot 0.6^n\cdot 0.05\ge 0.036\cdot 0.04^n\cdot 0.95$
$0.046\cdot 0.6^n\ge 0.036\cdot 0.04^n\cdot 0.95/0.05$
$0.046\cdot 0.6^n\ge 0.036\cdot 19\cdot 0.04^n$
$0.046\cdot 0.6^n\ge 0.684\cdot 0.04^n$
$\frac{0.046}{0.684}\ge {\left(\frac{0.04}{0.6}\right)}^n$
$\frac{0.046}{0.684}\ge {\left(\frac{1}{15}\right)}^n$
$0.0673\ge {\left(\frac{1}{15}\right)}^n$
${\log }_{15}(0.0673)\ge -n$
$n\ge -{\log }_{15}(0.0673)$
$n\approx 3.45$

因此，需要连续4次检测阳性，才能达到90%以上的罹患概率。