82-sc-r4 追試験-問題1-問1‐(2)

要计算由这两个参数方程定义的曲线 $x=a(\theta -\sin (\theta ))$ 和 $y=a(1-\cos (\theta ))$，其中 $\theta$ 的取值范围是 $[0,2\pi ]$ 的长度，我们可以使用弧长公式。这个公式是：
$L={\int }_a^b\sqrt{{\left(\frac{dx}{d\theta }\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d\theta }\right)}^2}d\theta$
首先，我们需要找到 $\frac{dx}{d\theta }$ 和 $\frac{dy}{d\theta }$。然后将这些代入到积分公式中，并在给定的范围 $[0,2\pi ]$ 内对其进行积分。我将计算这个积分。
计算得到的曲线长度为：
$L=\sqrt{2}\cdot a\cdot {\int }_0^{2\pi }\sqrt{1-\cos (\theta )}d\theta$
这个表达式代表了曲线的长度，但需要进一步计算积分来得到具体的数值结果。