82-sc-r4 追試験問題1 問1 (2)

为了计算参数方程 $x = θ - sin θ$ 和 $y = 1 - cos θ$ 在 $0 < θ < 2 π$ 范围内的弧长，我们需要使用弧长公式。对于参数方程 $x = f (θ)$ 和 $y = g (θ)$ ，弧长 $L$ 可以表示为：

L = \int_{a}^{b} (\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2} d θ

在本题中， $x = θ - sin θ$ 和 $y = 1 - cos θ$ ，我们先计算它们对 $θ$ 的导数：

\frac{d x}{d θ} = \frac{d}{d θ} (θ - sin θ) = 1 - cos θ

\frac{d y}{d θ} = \frac{d}{d θ} (1 - cos θ) = sin θ

然后将它们代入弧长公式：

L = \int_{0}^{2 π} (1 - cos θ)^{2} + (sin θ)^{2} d θ

我们知道 $(1 - cos θ)^{2} + (sin θ)^{2}$ 可以化简为：

(1 - cos θ)^{2} + (sin θ)^{2} = 1 - 2 cos θ + cos^{2} θ + sin^{2} θ = 2 - 2 cos θ

所以弧长公式可以进一步简化为：

L = \int_{0}^{2 π} 2 - 2 cos θ d θ = \int_{0}^{2 π} 2 (1 - cos θ) d θ = \int_{0}^{2 π} 4 sin^{2} (\frac{θ}{2}) d θ

由于 $4 sin^{2} (\frac{θ}{2}) = 2∣ sin (\frac{θ}{2}) ∣$ ，并且在 $0 < θ < 2 π$ 范围内， $sin (\frac{θ}{2})$ 的绝对值始终为正，因此可以去掉绝对值符号：

L = \int_{0}^{2 π} 2 sin (\frac{θ}{2}) d θ

为了简化积分，我们做变量替换，令 $u = \frac{θ}{2}$ ，则 $d u = \frac{1}{2} d θ$ ， $d θ = 2 d u$ ，积分上下限从 $θ = 0$ 到 $θ = 2 π$ 变为 $u = 0$ 到 $u = π$ :

L = \int_{0}^{π} 2 \cdot 2 sin u d u = 4 \int_{0}^{π} sin u d u

积分 $\int_{0}^{π} sin u d u$ 为：

\int_{0}^{π} sin u d u = - cos u_{0}^{π} = - cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2

因此弧长 $L$ 为：

L = 4 \cdot 2 = 8

所以，参数方程 $x = θ - sin θ$ ， $y = 1 - cos θ$ 在 $0 < θ < 2 π$ 范围内的弧长为 8。

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