82-sc-r4 追試験 問題1 問2

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坐标变换

从笛卡尔坐标 $(x,y,z)$ 到柱面坐标 $(r,\theta ,z)$ 的变换由以下关系给出：

• $x=r\cos \theta$
• $y=r\sin \theta$
• $z=z$

构造雅可比行列式

$$\det (J)=\det \left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=r({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=r$$

因此，新的体积元素为 $dV=rdrd\theta dz$。

计算积分

=\frac{c^4\pi}{8}$$ 秒了