齐次微分方程例题

齐次微分方程例题

例题1:

求解齐次微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{x+2y}{2x+3y}$。

解：

这个方程是齐次的，因为分子和分母的各项都是同次的。

1. 我们用变量代换法令 $y=vx$，其中 $v$ 是 $x$ 的函数。
2. 因此，$\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$。
3. 将 $y=vx$ 代入原方程，得到：

$$v+x\frac{dv}{dx}=\frac{x+2vx}{2x+3vx}$$

4. 分子分母同时除以 $x$，得到：

$$v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1+2v}{2+3v}$$

5. 将 $v$ 的项移到左边，得到：

$$x\frac{dv}{dx}=\frac{1+2v}{2+3v}-v$$

6. 继续化简右边：

$$x\frac{dv}{dx}=\frac{1+2v-v(2+3v)}{2+3v}=\frac{1+2v-2v-3v^2}{2+3v}=\frac{1-3v^2}{2+3v}$$

7. 将方程改写为分离变量的形式：

$$(2+3v)dv=\frac{1-3v^2}{x}dx$$

8. 积分两边：

$$\int \frac{2+3v}{1-3v^2}dv=\int \frac{1}{x}dx$$

9. 分离变量后，左边的积分可以通过部分分数分解来解决：

$$\frac{2+3v}{1-3v^2}=\frac{A}{1-3v^2}+B$$

通过分解，设 $A=3$ 和 $B=-2$，因此：

$$\int \left(\frac{3}{1-3v^2}-2\right)dv=\ln |x|+C$$

10. 继续求积分：

$$\int \frac{3}{1-3v^2}dv-\int 2dv=\ln |x|+C$$

11. 解决左边的积分：

$$-\frac{1}{3}\ln |1-3v^2|-2v=\ln |x|+C$$

12. 回代 $v=\frac{y}{x}$，得到通解：

$$-\frac{1}{3}\ln |1-3(\frac{y}{x}{)}^2|-2\frac{y}{x}=\ln |x|+C$$

例题2:

求解齐次微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x+y}$。

解：

1. 令 $y=vx$，其中 $v$ 是 $x$ 的函数。
2. 因此，$\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$。
3. 将 $y=vx$ 代入原方程，得到：

$$v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2x-vx}{x+vx}$$

4. 分子分母同时除以 $x$，得到：

$$v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2-v}{1+v}$$

5. 将 $v$ 的项移到左边，得到：

$$x\frac{dv}{dx}=\frac{2-v}{1+v}-v$$

6. 继续化简右边：

$$x\frac{dv}{dx}=\frac{2-v-v(1+v)}{1+v}=\frac{2-v-v-v^2}{1+v}=\frac{2-2v-v^2}{1+v}$$

7. 将方程改写为分离变量的形式：

$$(1+v)dv=\frac{2-2v-v^2}{x}dx$$

8. 积分两边：

$$\int \frac{1+v}{2-2v-v^2}dv=\int \frac{1}{x}dx$$

9. 分离变量后，左边的积分可以通过部分分数分解来解决：

$$\frac{1+v}{2-2v-v^2}=\frac{A}{2-2v-v^2}+B$$

通过分解，设 $A=-1$ 和 $B=2$，因此：

$$\int \left(\frac{-1}{2-2v-v^2}+2\right)dv=\ln |x|+C$$

10. 继续求积分：

$$\int \frac{-1}{2-2v-v^2}dv+\int 2dv=\ln |x|+C$$

11. 解决左边的积分：

$$-\frac{1}{2}\ln |2-2v-v^2|+2v=\ln |x|+C$$

12. 回代 $v=\frac{y}{x}$，得到通解：

$$-\frac{1}{2}\ln |2-2(\frac{y}{x})-(\frac{y}{x}{)}^2|+2\frac{y}{x}=\ln |x|+C$$