极点的计算方法

问题

求解方程的极点

$$\frac{1}{z^4+1}$$

1. 题目分析

目标是求解方程：

$$z^4+1=0$$

2. 转化为指数形式

方程可以写成：

$$z^4=-1$$

解题关键是意识到欧拉公式的结论：

$$1=e^{2i\pi k}$$ $$-1=e^{i(\pi +2k\pi )}$$

其中 $k\in \mathbb{Z}$ 表示任意整数。

3. 求解 $z$

对等式两边开四次方：

$$z={\left(e^{i(\pi +2k\pi )}\right)}^{1/4}=e^{i\frac{(\pi +2k\pi )}{4}}$$

由于 $e^{2i\pi }=1$，函数具有周期性，只需要考虑主值范围内的角度$e^{0i}\le e^{\frac{(1+2k)\pi }{4}i}<e^{2\pi i}$
得到符合条件的 $k=0,1,2,3$。

4. 取不同的 $k$ 值

选择 $k=0,1,2,3$，分别得到四个不同的解：

$$z_0=e^{i\frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$z_1=e^{i\frac{3\pi }{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$z_2=e^{i\frac{5\pi }{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$z_3=e^{i\frac{7\pi }{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}$$

5. 结论

方程 $z^4+1=0$ 的四个复数根分布在复平面上，等间隔地围绕原点，间隔角度为 $90^{\circ }$ 或 $\frac{\pi }{2}$。利用 $e^{2i\pi }=1$ 这一事实是解决此类问题的关键步骤。这类问题可以归纳为利用指数形式解决复数方程的通用方法。