留数

留数是函数在其奇点处的行为的量化表示

定义

极点处的留数可以通过以下公式计算：
$Res(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}{\lim }_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}[(z-z_0{)}^{m}f(z)]$

对于简单极点 ($m=1$)，公式简化为：
$Res(f,z_0)={\lim }_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$
如果 $f(z)=g(z)/h(z)$，其中 $g(z)$ 和 $h(z)$ 在 $z_0$ 解析，且 $g(z_0)\ne 0$，$h(z_0)=0$，$h^{\prime }(z_0)\ne 0$，则 $z_0$ 是 $f(z)$ 的简单极点，且留数为 $g(z_0)/h^{\prime }(z_0)$。