环

定义：环是一个集合 $R$，其上定义了两个运算：加法和乘法，使得这个集合在这些运算下满足以下性质：

1. 加法运算：$(R,+)$ 是一个交换群。

   • 封闭性：对于任意 $a,b\in R$，$a+b\in R$。
   • 结合性：对于任意 $a,b,c\in R$，$(a+b)+c=a+(b+c)$。
   • 交换性：对于任意 $a,b\in R$，$a+b=b+a$。
   • 存在加法单位元：存在 $0\in R$，使得对于任意 $a\in R$，$a+0=a$。
   • 存在加法逆元：对于任意 $a\in R$，存在 $-a\in R$，使得 $a+(-a)=0$。

2. 乘法运算：$(R,\cdot )$ 是一个半群。

   • 封闭性：对于任意 $a,b\in R$，$a\cdot b\in R$。
   • 结合性：对于任意 $a,b,c\in R$，$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$。

3. 分配律：

   • 对于任意 $a,b,c\in R$，$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ 和 $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$。

示例

• 整数集合 $\mathbb{Z}$ 在通常的加法和乘法运算下构成一个环。
• 多项式集合 $\mathbb{Z}[x]$ 在多项式加法和乘法运算下也是一个环。