指数映射

定义

李群 $G$ 的李代数为 $\mathfrak{g}$.
指数映射定义为

$$\exp :\mathfrak{g}\to G,\exp (A)=e^A=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{A^k}{k!}.$$

它将李代数的”无穷小生成元” 映射为李群的”有限变换” .

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示例

• 对平移群 $(\mathbb{R},+)$:
  $\mathfrak{g}=\mathbb{R}$, $\exp (x)=x$.
• 对旋转群 $SO(2)$:
  $\mathfrak{so}(2)$ 中的矩阵
  $A=\left(\begin{array}{cc}0& -\theta \\ \theta & 0\end{array}\right)$,
  则 $\exp (A)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$.
• 对一般线性群 $GL(n)$:
  $\exp (A)$ 即矩阵指数.

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直观意义

• 在李代数中: $A$ 表示”瞬时速度” ;
• 通过 $\exp (A)$ 可得到李群中的”有限运动” ;
• 这是”从无穷小到有限” 的桥梁.

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与指数导数的联系

在 $\mathbb{R}$ 上的平移算符:

$$e^{t\frac{d}{dx}}f(x)=f(x+t)$$

正是指数映射的算符形式.