Apr 7

我们要判断 New 的均值是否显著大于 Standard 的均值，这是一个关于两个独立样本平均值比较的统计问题。
以下是完整的四步分析流程（State, Check, Calculate, Conclusion），使用 双样本 t 检验（two-sample t-test, unequal variance）。

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Step 1: State（陈述假设）

我们使用显著性水平 $\alpha =0.05$。

• Null Hypothesis（$H_0$）: ${\mu }_{\text{new}}\le {\mu }_{\text{standard}}$

• Alternative Hypothesis（$H_a$）: ${\mu }_{\text{new}}>{\mu }_{\text{standard}}$

这是一个 右尾检验，因为我们关心 New 是否显著更大。

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Step 2: Check（条件检验）

我们检查以下条件：

• 样本是独立的（Standard 和 New 是两个不同群体）✅

• 分布近似正态（n ≥ 30 时中心极限定理适用）✅

  • Standard 样本大小为 56，New 样本大小为 0.56（注意这里的 Size 似乎有误，应该是个整数）

📌 请确认：New 的 Size 是否为 56，而不是 0.56？
目前假设是 Standard: n=56, New: n=56，如果不是，请告知。

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Step 3: Calculate（计算）

我们使用 Welch’s t-test（允许方差不同）：

给定数据：

• Standard: ${\bar{x}}_1=0.57$, $s_1=0.26$, $n_1=56$

• New: ${\bar{x}}_2=0.69$, $s_2=0.27$, $n_2=56$

Test Statistic

$$t=\frac{{\bar{x}}_2-{\bar{x}}_1}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}=\frac{0.69-0.57}{\sqrt{\frac{0.26^2}{56}+\frac{0.27^2}{56}}}=\frac{0.12}{\sqrt{\frac{0.0676}{56}+\frac{0.0729}{56}}}=\frac{0.12}{\sqrt{0.001207+0.001302}}=\frac{0.12}{\sqrt{0.002509}}\approx \frac{0.12}{0.0501}\approx 2.395$$

Degrees of Freedom (Welch-Satterthwaite Equation)

$$df=\frac{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}{)}^2}{\frac{(\frac{s_1^2}{n_1}{)}^2}{n_1-1}+\frac{(\frac{s_2^2}{n_2}{)}^2}{n_2-1}}\approx 109.9\approx 110$$

查表或使用计算工具得出：

• 临界值 t(0.05, 110) ≈ 1.659

• 我们的 $t=2.395>1.659$

或：

• p-value ≈ 0.009（使用计算器）

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Step 4: Conclusion（结论）

因为 $t=2.395>1.659$，且 p-value ≈ 0.009 < 0.05，我们拒绝原假设。

✅ 结论：有足够的证据支持 New 的均值显著大于 Standard 的均值。

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如果你有具体的样本数据而不是只给均值、标准差和大小，也可以进一步做精确分析。
如果“New 的 size 真的是 0.56”而不是 56，请再确认一遍，我可以重新计算。

是否需要附带 Python 代码来复现计算？