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RC 电路中电容的充电与放电过程推导（分离变量法，含 $i(t)$、$Q(t)$、$V_C(t)$）

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🔋 一、电容充电过程（电源 V 接入 RC 串联电路）

设初始时刻电容无电荷（$Q(0)=0$），电容与电阻串联连接到电压源 $V$，分析如下：

1. KVL 基本方程：

$$V=iR+V_C=iR+\frac{Q}{C}$$

由于 $i=\frac{dQ}{dt}$，代入：

$$V=R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}$$

整理后：

$$\frac{dQ}{dt}=\frac{1}{R}\left(V-\frac{Q}{C}\right)$$

分离变量：

$$\frac{dQ}{V-\frac{Q}{C}}=\frac{1}{R}dt$$

令 $u=V-\frac{Q}{C}$，则 $dQ=-Cdu$，换元积分：

$$\int \frac{dQ}{V-\frac{Q}{C}}=-C\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{R}\int dt$$

结果为：

$$-C\ln |V-\frac{Q}{C}|=\frac{t}{R}+k$$

整理后指数化：

$$V-\frac{Q}{C}=A{e}^{-\frac{t}{RC}}\Rightarrow Q(t)=C\left(V-A{e}^{-\frac{t}{RC}}\right)$$

初始条件 $Q(0)=0$ 得：

$$0=C\left(V-A\right)\Rightarrow A=V$$

最终电荷表达式为：

$$\boxed{Q(t)=CV\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)}$$

2. 电流 $i(t)$

$$i(t)=\frac{dQ}{dt}=CV\cdot \frac{1}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}=\boxed{i(t)=\frac{V}{R}{e}^{-\frac{t}{RC}}}$$

3. 电容电压 $V_C(t)$

$$V_C(t)=\frac{Q(t)}{C}=\boxed{V_C(t)=V\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)}$$

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⚡ 二、电容放电过程（RC 串联，自由放电）

电容初始带电 $Q(0)=Q_0$，断开电源，只剩下电阻和电容构成闭环：

1. KVL 方程

$$\frac{Q}{C}+iR=0\Rightarrow i=\frac{dQ}{dt}=-\frac{Q}{RC}$$

分离变量：

$$\frac{dQ}{Q}=-\frac{1}{RC}dt$$

积分：

$$\ln |Q|=-\frac{t}{RC}+k\Rightarrow Q(t)=A{e}^{-\frac{t}{RC}}$$

初始条件 $Q(0)=Q_0$ 得：

$$Q(t)=\boxed{Q(t)=Q_0{e}^{-\frac{t}{RC}}}$$

2. 电流 $i(t)$

$$i(t)=\frac{dQ}{dt}=-\frac{Q_0}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}=\boxed{i(t)=-\frac{Q_0}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}}$$

3. 电容电压 $V_C(t)$

$$V_C(t)=\frac{Q(t)}{C}=\boxed{V_C(t)=\frac{Q_0}{C}{e}^{-\frac{t}{RC}}}$$

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📌 时间常数

$$\boxed{\tau =RC}$$

• 约在 $t=5\tau$ 后进入稳态（<1%误差）；
• 时间常数越大，充放电越慢。

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✅ 总结公式一览

过程	电荷 $Q(t)$	电流 $i(t)$	电容电压 $V_C(t)$
充电	$CV(1-e^{-\frac{t}{RC}})$	$\frac{V}{R}{e}^{-\frac{t}{RC}}$	$V(1-e^{-\frac{t}{RC}})$
放电	$Q_0{e}^{-\frac{t}{RC}}$	$-\frac{Q_0}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}$	$\frac{Q_0}{C}{e}^{-\frac{t}{RC}}$