光学 + 波

几何光学 (初中秒杀光学) Light

基础

反射角 = 入射角

面镜成像 (Mirror)

平面镜成像

等大正立

凹面镜成像 (Concave)

Focus 焦点
Focus length 焦距

凹面镜 (园的一部分)
$r=2f$

万能公式

$$\frac{1}{s_0}+\frac{1}{s_i}=\frac{1}{f}$$

• $s_0$：物距（object distance）—— 物体到镜面的距离
• $s_i$：像距（image distance）—— 成像点到镜面的距离
• $f$：焦距（focal length）—— 焦点到镜面的距离

| 量 | 负号 |
| --- | ---------------------- | ----------------------- |
| 物距 | 物体在镜的前方（通常是光源来的方向） | 很少出现负的，只有虚物体时负（极少） |
| 像距 | 实像（光线实际汇聚）同侧，倒立 | 虚像（光线发散，看起来汇聚）异侧，正立 |
| 焦距 | 凹面镜焦距是正的 | 凸面镜焦距是负的 |

放大倍数

$$m=\frac{s_i}{s_0}$$

凸面镜成像 (Convex)

只有虚像！

透镜成像

万能公式

$$\frac{1}{d_0}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}$$

放大倍数

$$m=\left|\frac{h_i}{h_0}\right|=\left|-\frac{d_i}{d_0}\right|$$

Drawing 2025-04-23 13.56.56

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$h_0$ -> +
$d_0$ -> +

Image

f -> Focus length 焦距

• ”+” converge
  • Concave mirror
  • Convex lens
• ”-” diverge

$d_i$ -> Distance 距离

• ”+” real image
• ”-” virtual image

$h_i$ -> Height 高度

• ”+” Upright
• ”-” Inverted

凸透镜

凹透镜

仅虚像

折射

Index of Refraction 折射指数

Material: $n=\frac{c}{v}$
空气 $n=\frac{c}{v}=1$
其他 $n=\frac{c}{v}>1$

• c 为真空光速
• v 为介质中光速

Snell’s Law (折射角)

$$n_1\sin ({\theta }_1)=n_2\sin ({\theta }_2)$$

全反射 Internal Reflection

仅出现在 n大 -> n小, i.e. 密介质 -> 疏介质

• 折射角 = 90度 的 criti-angle , i.e. $\sin ({\theta }_2)=1$

一步到位临界角公式（直接秒杀）

$${\theta }_c={\sin }^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$$

波 & 声 Wave & Sound

Basis 基础内容

Transverse Wave 横波 （震动方向垂直于传播方向）

• e.g., 水波，电磁波

• Polarization 偏振

#### Longitudinal Wave 纵波（震动方向平行于传播方向） - e.g., 声波 #### Sinusoidal Wave 正弦波 $$ \lambda = vT = \frac{v}{f} $$ - $\lambda$（lambda）：**波长**，单位通常是米（m），表示波的一个完整周期在空间中的长度 - $v$：**波速**，单位是米每秒（m/s），表示波传播的速度 - $T$：**周期**，单位是秒（s），表示完成一个完整振动所需的时间 - $f$：**频率**，单位是赫兹（Hz），表示每秒振动的次数 #### Doppler's Effect 多普勒效应 - 蓝移 -> 靠近，波长短，频率快 - 红移 -> 远离，波长长，频率慢 ## 机械波 (Mechanical Wave) 介质传播 e.g., 声波，水波 ### Sound - Sound (Temperature 温度⬆️ Velocity 速度⬆️) - Loudness Energy 能量⬆️ Loud 响度⬆️ - Pitch frequency 频率⬆️ Pitch 音高⬆️

• 声波

$$\lambda =vT=\frac{v}{f}$$

String (绳子)

$v=\sqrt{\frac{F_T}{m/l}}$
Wind (风)
Beat frequency

角频率 $\omega =2\pi f$

$$E\sim E_{max}\sin (\omega t+\varphi )$$

角波数 $\omega =k=\frac{2\pi }{\lambda }$

$$E\sim E_{max}\sin (\omega x+\varphi )$$

电磁波 (Electromagnetic Wave)

不需要介质，电磁震荡产生 e.g., 光

![[Pasted image 20250426215815.png]] ##### 右手定则适用 #### 电场万能公式 $$ E (x,t) \sim E_{max}\,\cos(kx-\omega t + \phi) $$ #### 磁场万能公式 $$ B (x,t) \sim B_{max}\,\cos(kx-\omega t + \phi) $$

符号	代表	通俗解释
$(x,t)$	波在位置 $x$ 和时间 $t$ 的瞬时数值（比如电场强度）	某一时刻、某一地点，波的大小（可以是振幅、位移等）
$E_{\text{max}}$​	最大幅值（Amplitude）	波峰最高的位置，波动的最大强度
$k$	波数（wave number）	表示单位长度内有多少个波峰波谷，公式是 $k=\frac{2\pi }{\lambda }$​，$\lambda$ 是波长
$x$	空间位置	指你在波传播方向上哪个位置
$\omega$	角频率（angular frequency）	表示单位时间内震荡了多少圈，公式是 $\omega =2\pi f$，$f$ 是频率
$t$	时间	当前是第几秒钟
$\varphi$	初相位（initial phase）	一开始的时候波是不是从正中间开始震荡？还是提前/滞后了一点？

干涉 (Interference)

相位（phase）

相位描述的是波在一个周期中所处的位置。

• 波从起点出发是 0∘ (或者 0 弧度)
• 到了最高点是 90∘ ($\frac{1}{2}\pi$)
• 回到零是 180∘ ($\pi$)
• 到最低点是 270∘ ($\frac{3}{2}\pi$)
• 再回到起点是 360∘ ($2\pi$)
  也就是说，相位告诉你波在振动过程中的“进度”。

相位翻转

现象	稀疏→密集	密集→稀疏
反射	翻转 180∘	不翻转
折射	不翻转	不翻转

进入新介质

物理量	变化情况	解释
频率 $f$	不变	频率只取决于波源，进入新介质后频率保持不变。
速度 $v$	改变	介质不同，传播速度根据介质性质变化。
波长 $\lambda$	改变	由于速度变化，波长也随之变化。
速度 / 频率公式

$$v\propto \frac{1}{n}/v_1{n}_1=v_2{n}_2$$

光程差在介质中传播加上折射率修正

$$\Delta L=nd=m\lambda$$

此时lambda使用原介质波长​

叠加 Superposition

• Constructive (同相)

$$\Delta l=m\lambda m\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

• Destructive (异相)

$$\Delta l=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda$$

• $\Delta l$：路径差，单位是米（m），指两列波到达某一点之间所走路程的差
• $m$：干涉级数，是一个整数（$0,1,2,3,\dots$），表示第几个最大值或最小值

驻波 Standing Waves

两个完全一样但方向相反的波叠加在一起，结果变成了一个看起来不动的波形。（不再传递能量）

• （腹 antinode）剧烈波动，

• （节 node）完全不动。

• 开口永远是腹

• 闭口永远是节

Drawing 2025-04-22 10.49.19

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管弦乐器，其长度必须是某个特定的比值 - 两端闭口：1/2 波长 - 一端闭口：1/4 波长 - 两端开口：1/2 波长 # 物理光学 Physical Optics ### 衍射 Diffraction #### 惠更斯 波上每一个点可当作新波源

波进入介质频率不变，
e.g., 空气进入水: 波长变短，速度变慢

简单来说：遇到障碍物偏离原本直线传播


暗纹角度条件

$$a\sin \theta =m\lambda (m=1,2,3,\dots )$$

• $a$：缝的宽度（单位：米 m）
• $\theta$：从中央亮纹到第 $m$ 个暗纹的角度
• $\lambda$：波长（单位：米 m）
• $m$：暗纹的级数（第几个暗纹，注意没有 $m=0$，从1开始）

$\theta$ 较小，所以 $\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{y}{L}$ , 所以

$$y_m=\frac{m\lambda L}{a}m\in {\mathbb{Z}}^{+}(\text{正整数})$$

Drawing 2025-04-27 16.42.58

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对于每一条光，其光程差
缝隙分成2份时:

\Delta l = \sin \theta \cdot \text{垂直距离} = \frac{a}{2} $$​当 $a \sin \theta = \lambda$ 时，正好行走半波长，抵消形成暗波 缝隙分成偶数份继续。 - #### 障碍大小与波长相近 -> 发生衍射 ### 薄膜干涉实验 Thin-film Interference Experiment 上表面下表面反射，通过Superposition公式计算加强/抵消 ![[Pasted image 20250427000704.png]] ### 杨氏双缝干涉实验 Young's Double-Slit Interference Experiment 光在传过狭缝时发生衍射(Diffraction)，使得两束光相互发生干涉，形成明暗相间的条纹 ![[Drawing 2025-04-27 16.02.48.excalidraw]] - 频率 ![[Pasted image 20250427001401.png]] 万能光斑位置公式

y_m = \frac{m\lambda L}{d} \quad m \in \mathbb{Z}^+ \quad (\text{正整数})

$$间距公式$$

\Delta y = \frac{\lambda L}{d}

- $y_m$：第 m 个明纹（亮条纹）到中心的**垂直距离**（单位：米 m） - $m$：**干涉级数**，是一个整数（$0, 1, 2, 3, \dots$） - $\lambda$：**光的波长**（单位：米 m） - $L$：**屏幕到双缝的距离**（单位：米 m） - $d$：**两条缝之间的距离（缝距）**（单位：米 m）