热力学

牛头人(牛人头)公式

仅对于 理想气体
$PV=nRT$

符号	名称	含义说明	常用单位（SI）
PP	Pressure（压强）	单位体积内气体分子对容器壁的平均冲击力；衡量气体“压”的程度	Pa（帕斯卡） = N/m²
VV	Volume（体积）	气体所占据的空间总量	m³（立方米）
nn	Moles（物质的量）	气体分子总数的“打包数”表示方式；1 mol ≈ 6.022×10236.022 \times 10^{23} 个粒子	mol（摩尔）
RR	Gas constant（气体常数）	理想气体的比例常数	8.314 J/(mol\cdotpK)8.314, \text{J/(mol·K)}
TT	Temperature（温度）	分子平均动能的体现；必须用开尔文温标（K）	K（Kelvin）

1. High temperature, Low pressure 高温低压
2. Probabilities to move in all direction are the same 随机变向
3. Perfectly elastic 完全弹性碰撞
4. Interaction only when collision 仅碰撞
5. No potential energy 势能忽略不计

对于任何气体
$KE=\frac{3}{2}{K}_{B}T$
其中

• $K_B=\frac{R}{N_A}$
• $n=\frac{N}{N_A}$

系统中能量
$U=N\cdot \overline{KE}$
小学二年级学过的动能公式
$KE=\frac{1}{2}m{\bar{v}}^2$

• Bar 指平均 (统计)

内能?公式

• 推导一波

$$\begin{array}{rl}U& =N\cdot \overline{KE}\\ & =N\cdot \frac{1}{2}m{\bar{v}}^2\text{带入动能公式}\\ & =\frac{3}{2}{K}_{B}TN\text{带入动能公式}\\ & =\frac{3}{2}\frac{R}{N_A}TN\text{替换KB}\\ & =\frac{3}{2}nRT=\boxed{\frac{3}{2}PV}\text{对于理想气体有}U=\frac{3}{2}PV\end{array}$$

万能压力

$F_{gas}=P_{gas}\cdot A$
注意到空气压强
$F_{air}=P_{air}\cdot A=1atm\cdot A$
以及自身重力
$F_g=m_{piston}g$

三大定律

$0^{\text{th}}$ 结合律

If 2 system in thermal eq. (T相等) with third system, they are all in eq with each other.
热量传输 T high -> T Low

Entropy: measure of disorder 熵

$$\Delta S=\frac{Q}{T_f}$$

$2^{\text{rd}}$ 自发情况全熵增，没有外界做工

$1^{\text{st}}$ 任何气体

$$\Delta U=W+Q$$

Q为 energy exchanged between the system and the environment (输入热量)
W 为外界对气体做功

$$W=F\Delta X=-P\Delta V$$

Q 热量

• ”+”: Heating
• ”-”: Cooling

W (外界对气体做功)

• ”+”: Compress
• ”-”: Expand

气体对外做功 (注意谁对谁做功)

Drawing 2025-04-23 13.17.05

+−⟲

Link to original

根据小学一年级学过的微积分 area = $W=\int PdV$

$$W=P\Delta V$$

• V不变不做工

四种变化

Drawing 2025-04-23 13.36.41

+−⟲

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Isothermal (T constant)

反比例函数图像
温度不变，气体内能不变

• 构造方法：缓慢加热/冷却并确保气体与恒温源保持热平衡

$$\Delta U=0,Q=-W$$

Adiabatic(Q constant)

近似反比例函数（更陡峭）
无热量交换

• 构造方法：快速压缩或膨胀，使得来不及与外界传热（例如快速移动活塞）

$$Q=0,\Delta U=W$$

Isobaric (P constance)

横线

• 构造方法：活塞在恒定大气压下缓慢移动，或系统连着活塞和重物

$$\Delta P=0$$

Isovolumetric / Isochoric (V constant)

竖线
没有做功，所有热量都改变内能

• 构造方法：把气体封闭在刚性容器中（如钢瓶）

$$W=0,\Delta U=Q$$

做功图像

Drawing 2025-04-23 13.29.42

+−⟲

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围成面积为气体对外做功 （三角形面积）

比热容: C ($J/kg\cdot K$)

$$Q=cm\Delta T$$

热传导定律（conduction of heat

有多快的热量 Q 通过一块材料流动）

$$\frac{Q}{t}=k\frac{A\Delta T}{L}$$

• 面积越大（$A$ 大）→ 传热越快
• 温差越大（$\Delta T$ 大）→ 传热越快
• 材料越薄（$L$ 小）→ 传热越快
• 材料导热性越好（$k$ 大，比如金属）→ 传热越快

麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布曲线（Maxwell-Boltzmann velocity distribution）

Drawing 2025-04-23 14.20.22

+−⟲

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• 气体温度升高 → 平均动能 $\frac{1}{2}m{v}^2$ 增大
• 整个速度分布右移、拉宽：更高的速度变得更常见
• 高温气体的曲线更平坦更宽，表示更多高速粒子