不等式练习2

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1. 因式分解法

求 $x$ 的范围，使以下不等式成立： $3 x^{2} - 7 x + 2 \geq 0$

2. 配方法

求 $x$ 的范围，使以下不等式成立： $2 x^{2} - 8 x + 6 < 0$

3. 基本不等式法（AM-GM）

若 $x, y > 0$ 且 $x + y = 6$ ，求 $x^{2} + y^{2} \geq k$ 的最小值 $k$ 。

4. 柯西不等式

若 $a, b > 0$ 且 $a + b = 8$ ，求 $ab \leq k$ 的不等式，使其恒成立的最大值 $k$ 。

5. 绝对值不等式

求 $x$ 的范围，使以下不等式成立： $∣2 x - 5∣ + ∣ x + 3∣ \leq 10$

6. 对数不等式

求 $x$ 的范围，使以下不等式成立： $lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (3 - x) > 1$

7. 指数不等式

求 $x$ 的范围，使以下不等式成立： $2^{x + 1} - 3 \cdot 2^{x} > 4$

8. 根式不等式

求 $x$ 的范围，使以下不等式成立： $x + 2 + 2 x - 1 \geq 3$

9. 分式不等式

求 $x$ 的范围，使以下不等式成立： $\frac{x ^{2} + 2 x - 8}{x - 3} \leq 0$

10. 参数不等式

对 $a > 0$ ，求 $x$ 的范围，使以下不等式恒成立： $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 \geq 0$

11. 幂平均不等式

若 $x, y > 0$ 且 $x + y = 10$ ，证明 $x + y \leq k$ 并求最大值 $k$ 。

12. 三角不等式

求 $x$ 的范围，使以下不等式成立： $sin x + cos x > \frac{2}{2}$ ， $x \in [0, 2 π]$ 。

13. 椭圆不等式

已知 $x, y > 0$ 且满足 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} \leq 1$ ，求 $x + y$ 的最大值。

14. 函数单调性分析

求 $x$ 的范围，使以下不等式成立： $f (x) = e^{x} - x - 2 > 0$

15. 线性规划（几何法）

在以下约束条件下，求 $x + y$ 的最小值： ${2 x + 3 y \geq 12 x + y \leq 8 x \geq 0, y \geq 0$

16. 函数极值与不等式

若 $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ ，求 $x$ 的范围使 $f (x) \geq 3$ 。

17. 矩阵不等式

设矩阵 $A = [x 11 x]$ ，求 $x$ 的范围，使 $det (A) \geq 2$ 。

18. 集合法

设集合 $S = x ∣ x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ 与 $T = x ∣ x - 1 \geq 0$ ，求 $S \cap T$ 。

19. 排列组合不等式

若 $x, y, z > 0$ 且 $x + y + z = 6$ ，证明 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq k$ 并求最小值 $k$ 。

20. 复合不等式

求 $x$ 的范围，使以下不等式成立： $x + x - 2 \geq 2 且 x^{2} - 4 x + 3 \leq 0$

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