3. ベクトル解析 Vector analysis
在直角坐标系中，沿 x,y,z 轴方向的单位矢量分别为 i,j,k，回答以下问题：
- 考虑面 z=x2+y2 和 面 z=(x−21)2+(y−21)2：
a. 证明点 P(42,42,41) 均在两面上。
b. 求点 P 处两面的法线的夹角。
- 定义矢量场 A=x2i−y2j+z2k，令 S 为由 x2+y2=9,z=0,z=4 包围的圆柱的表面，计算面积分
∬SA⋅ndS,
其中 n 为 S 的外向单位法向量。
解答
1. 两曲面的法向量
a. 证明点 P 均在两面上
点 P(42,42,41) 是否满足两个面的方程：
- 面 z=x2+y2：
将 x=42,y=42,z=41 代入：
z=(42)2+(42)2=81+81=41.
符合该面方程。
- 面 z=(x−21)2+(y−21)2：
将 x=42,y=42,z=41 代入：
z=(42−21)2+(42−21)2.
计算 42−21=−42：
z=(−42)2+(−42)2=81+81=41.
符合该面方程。
因此，点 P 在两面上。
b. 求点 P 处两面的法线夹角
法线向量是梯度 ∇f 的方向，分别计算两面的法线向量：
- 面 z=x2+y2 对应隐函数 f1(x,y,z)=z−x2−y2：
∇f1=(−2x,−2y,1).
- 面 z=(x−21)2+(y−21)2 对应隐函数 f2(x,y,z)=z−(x−21)2−(y−21)2：
∇f2=(−2(x−21),−2(y−21),1).
在点 P 处 (x=42,y=42,z=41)，计算法线向量：
- ∇f1：
∇f1=(−2⋅42,−2⋅42,1)=(−22,−22,1).
- ∇f2：
∇f2=(−2(42−21),−2(42−21),1).
计算 42−21=−42：
∇f2=(−2⋅−42,−2⋅−42,1)=(22,22,1).
两向量的夹角由公式 cosθ=∥∇f1∥∥∇f2∥∇f1⋅∇f2 给出：
- 向量点积：
∇f1⋅∇f2=(−22)(22)+(−22)(22)+1⋅1=−21−21+1=0.
- 向量模长：
∥∇f1∥=(−22)2+(−22)2+12=21+21+1=2.
∥∇f2∥=(22)2+(22)2+12=21+21+1=2.
夹角：
cosθ=2⋅20=0⇒θ=2π.
结论：两面法线夹角为 2π，即两面正交。
2. 圆柱面积分
圆柱表面 S
圆柱 x2+y2=9,z=0,z=4 包括底面、顶面和侧面，分别计算：
1. 底面 z=0
法向量 n=−k，dS=dxdy。在底面 A=x2i−y2j，计算通量：
A⋅n=(x2i−y2j+z2k)⋅(−k)=0.
底面贡献为 0。
2. 顶面 z=4
法向量 n=k，dS=dxdy。在顶面 A=x2i−y2j+16k，计算通量：
A⋅n=(x2i−y2j+z2k)⋅k=16.
顶面面积为 πr2=π⋅9=9π，积分结果：
∬顶面A⋅ndS=16⋅9π=144π.
3. 侧面 x2+y2=9
侧面法向量 n=(x,y,0)/x2+y2=(x,y,0)/3，dS=3dθdz。在侧面 A=x2i−y2j+z2k，计算通量：
A⋅n=(x2,−y2,z2)⋅3(x,y,0)=3x3−y3.
积分对称，x3 和 y3 分量关于 θ 的积分为 0，侧面贡献为 0。
总结
∬SA⋅ndS=0+144π+0=144π.
高斯公式
也可以使用高斯公式，即散度定理：
∬SA⋅ndS=∭V(∇⋅A)dV
其中 V 是该圆柱的体积。
- 散度计算：
计算矢量场 A 的散度：
∇⋅A=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az
Ax=x2,Ay=−y2,Az=z2
∇⋅A=∂x∂(x2)+∂y∂(−y2)+∂z∂(z2)=2x+(−2y)+2z=2(x−y+z)
-
积分区域：
圆柱由方程 x2+y2=9 定义，表示半径为 3 的圆柱，z 的范围是从 0 到 4。
-
体积分计算：
将积分转化为柱坐标系计算：
x=rcosθ,y=rsinθ,z=z
散度在柱坐标下表达为：
∇⋅A=2(rcosθ−rsinθ+z)
体积元素为：
dV=rdrdθdz
积分范围为：
0≤r≤3,0≤θ≤2π,0≤z≤4
进行积分：
∭V2(rcosθ−rsinθ+z)rdrdθdz
计算过程：
∭V2(rcosθ−rsinθ+z)rdrdθdz
分解积分：
2∫04dz∫02πdθ∫03(r2cosθ−r2sinθ+zr)dr
分步计算：
∫03r2dr=[3r3]03=9
∫02πcosθdθ=0,∫02πsinθdθ=0,∫02πdθ=2π
∫03rdr=[2r2]03=29
∫04zdz=[2z2]04=8
组合后：
2(0+0+8⋅2π⋅29)=144π