ベクトル解析
直交座標系において、x，y，z 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i，j，k とする。次の各問に答えよ。
- 3点 (2,−6,2), (1,−10,−1) および (−1,2,3) が決定する平面と点 (2,−2,−2) との距離を求めよ。
- ベクトル場 F を
F=(−4xy)i+(z−x)j+(x+y)k
とする。曲線 C:x=8y2,y=−z に沿って、(0,0,0) から (29,6,−6) までの線積分
∫CF⋅dr
を計算せよ。
GPT-4o
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在空间中，三点可以唯一地确定一个平面，因为三点可以形成一个三角形，该三角形的平面唯一。求解平面方程 Ax+By+Cz+D=0 的关键是利用给定的三点来确定法向量以及 D。
1. 平面方程的推导
给定点：
P1(2,−6,2),P2(1,−10,−1),P3(−1,2,3)
构造两个方向向量：
v1=P2−P1=(−1,−4,−3),v2=P3−P1=(−3,8,1)
计算法向量：
法向量 n=v1×v2，计算叉积：
n=i−1−3j−48k−31=i((−4)(1)−(−3)(8))−j((−1)(1)−(−3)(−3))+k((−1)(8)−(−4)(−3)).
结果为：
n=(20,10,−20).
因此，平面的法向量为：
(A,B,C)=(20,10,−20).
确定平面方程：
将 P1(2,−6,2) 代入平面方程 20x+10y−20z+D=0：
20(2)+10(−6)−20(2)+D=0⟹D=60.
因此，平面方程为：
20x+10y−20z+60=0.
化简（将系数统一化为最小整数比）得：
2x+y−2z+6=0.
2. 点到平面的距离
给定点：
Q(2,−2,−2)
距离公式：
d=A2+B2+C2∣Ax1+By1+Cz1+D∣
代入数据：
分子：
∣2(2)+1(−2)−2(−2)+6∣=∣4−2+4+6∣=∣12∣.
分母：
22+12+(−2)2=4+1+4=9=3.
计算距离：
d=312=4.
3. 结论
- 平面方程：2x+y−2z+6=0
- 点到平面的距离：4
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给定条件
向量场：
F=(−4xy)i+(z−x)j+(x+y)k
曲线参数化为：
r(t)=8t2i−tj+tk
其导数为：
dtdr=4ti−j+k
我们要求解：
∫CF×dtdrdt
逐步计算
- 代入向量场 F 的表达式
将 x=8t2,y=−t,z=t 代入：
F=32t3i+(t−8t2)j+(8t2−t)k
- 计算外积 F×dtdr
F=32t3t−8t28t2−t,dtdr=4t−11
外积公式：
F×dtdr=i32t34tjt−8t2−1k8t2−t1
展开行列式：
F×dtdr=it−8t2−18t2−t1−j32t34t8t2−t1+k32t34tt−8t2−1
计算每个子行列式：
t−8t2−18t2−t1=(t−8t2)(1)−(8t2−t)(−1)=t−8t2+8t2−t=0
32t34t8t2−t1=(32t3)(1)−(8t2−t)(4t)=32t3−32t3+4t2=4t2
32t34tt−8t2−1=(32t3)(−1)−(t−8t2)(4t)=−32t3−4t2+32t3=−4t2
因此：
F×dtdr=0i−4t2j−4t2k
- 计算积分
∫CF×dtdrdt=∫06(−4t2j−4t2k)dt
逐分量积分：
∫06−4t2dt=−41∫06t2dt=−41⋅3t306=−41⋅363=−41⋅72=−18
∫06−4t2dt=−18
因此结果为：
∫CF×dtdrdt=−18j−18k