R03-数学-概率统计

確率・統計

実数 $p$ は $0<p<1$ を満たすものとする。確率変数 $X$ と $Y$ は独立に同一の確率関数

$$f(k)=\{\begin{array}{ll}p& (k=1)\\ 1-p& (k=-1)\end{array}$$

に従うものとする。$Z=XY$ として、以下の各問に答えよ。

1. 期待値 $E[Z]$ を求めよ。
2. $X$ と $Z$ の共分散 $E[(X-E[X])(Z-E[Z])]$ を求めよ。
3. $X$ と $Z$ が独立となる $p$ を求めよ。求めた $p$ に対し、$Y$ と $Z$ も独立であることを示せ。
4. (3) で求めた $p$ に対し、確率 $Pr[X+Y+Z\le 2]$ を求めよ。

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DeepSeekV3

Given real number $p$ where $0<p<1$, and two independent random variables $x$ and $y$ that follow the same probability mass function:

$$f(k)=\{\begin{array}{ll}p& \text{if }k=1\\ 1-p& \text{if }k=-1\end{array}$$

and defining $z=xy$, we proceed to solve the following parts:

1. find the expected value $e[z]$:

$$e[z]=e[xy]=e[x]\cdot e[y]$$ $$e[x]=1\cdot p+(-1)\cdot (1-p)=2p-1$$ $$e[y]=2p-1$$ $$e[z]=(2p-1{)}^2=4p^2-4p+1$$

2. find the covariance $\text{cov}(x,z)$:

$$\text{cov}(x,z)=e[xz]-e[x]e[z]$$ $$e[xz]=e[y]=2p-1$$ $$\text{cov}(x,z)=(2p-1)-(2p-1)(4p^2-4p+1)$$ $$=2p-1-(8p^3-12p^2+6p-1)$$ $$=-8p^3+12p^2-4p$$ $$=-4p(2p^2-3p+1)$$

3. find the value of $p$ for which $x$ and $z$ are independent, and show that for this $p$, $y$ and $z$ are also independent:

$$p(x=1,z=1)=p(x=1)p(z=1)$$ $$p^2=2p^3-2p^2+p$$ $$p(-2p^2+3p-1)=0$$ $$p=\frac{1}{2}$$

for $p=\frac{1}{2}$, $y$ and $z$ are also independent.

4. for the $p$ found in part (3), find $pr[x+y+z\le 2]$:

$$pr[x+y+z\le 2]=\frac{3}{4}$$

\boxed{\frac{3}{4}}