复线积分1

当求解复函数 $\frac{7z-1}{z^2-z-6}$ 沿路径 $|z|=5$ 的线积分时, 需要首先确认所有奇点是否在该路径内. 我们已知函数的奇点为 $z=3$ 和 $z=-2$. 因为这两个奇点的模都小于5( $|3|=3$ 和 $|-2|=2$) , 所以它们都在由 $|z|=5$ 定义的圆路径内部.

给定的积分路径是 $|z|=5$ 的逆时针方向, 我们可以使用留数定理来计算这个积分. 留数定理告诉我们, 如果一个函数在闭合路径内的所有奇点上都是解析的, 除了有限个点之外, 那么沿这个闭合路径的积分等于 $2\pi i$ 乘以这些奇点处的留数之和.

步骤:

1. 计算留数:

   • 对于 $z=3$:

$$\text{Res}\left(\frac{7z-1}{z^2-z-6},3\right)=\underset{z\to 3}{\lim }(z-3)\frac{7z-1}{(z-3)(z+2)}=\frac{20}{5}=4$$

• 对于 $z=-2$:

$$\text{Res}\left(\frac{7z-1}{z^2-z-6},-2\right)=\underset{z\to -2}{\lim }(z+2)\frac{7z-1}{(z-3)(z+2)}=\frac{-15}{-5}=3$$

2. 应用留数定理:

   因为路径 $|z|=5$ 包围了所有奇点, 所以线积分的计算为:

$${\int }_{|z|=5}\frac{7z-1}{z^2-z-6}dz=2\pi i(\text{Res}(f,3)+\text{Res}(f,-2))=2\pi i(4+3)=14\pi i$$

所以, 沿 $|z|=5$ 逆时针方向一周的积分结果为 $14\pi i$.