傅立叶级数例题 1

傅里叶级数公式

对于周期函数 $f(x)$，周期为 $2\pi$，可以表示为傅里叶级数形式：

$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)\right)$$

其中：

$$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$$ $$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx$$ $$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx$$

表示为傅里叶级数的步骤和条件

要将一个函数表示为傅里叶级数，需要以下步骤和条件：

1. 周期性：函数必须是周期函数。傅里叶级数适用于周期为 $2\pi$ 的函数，对于其他周期的函数，需要进行相应的变换。

2. 计算傅里叶系数：通过以上公式计算傅里叶系数 $a_0$, $a_n$, 和 $b_n$。

3. 正交性：利用正交性条件进行积分计算，这确保了傅里叶系数的正确性。即：

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (nx)\cos (mx)dx=0(n\ne m)$$ $${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (nx)\sin (mx)dx=0(n\ne m)$$

4. 收敛性条件：函数应满足狄利赫雷条件，包括：
   • 在一个周期内有有限个极大值和极小值。
   • 在一个周期内有有限个间断点。
   • 在每个有限区间上绝对可积。

sin^3(x)和cos^3(x)的傅里叶级数表示

为了将 ${\sin }^3(x)$ 和 ${\cos }^3(x)$ 表示为傅里叶级数，我们使用和角公式进行推导。

${\sin }^3(x)$ 的推导

我们先利用三倍角公式：

$$\sin (3x)=3\sin (x)-4{\sin }^3(x)$$

解出 ${\sin }^3(x)$：

$${\sin }^3(x)=\frac{3\sin (x)-\sin (3x)}{4}$$

因此，${\sin }^3(x)$ 的傅里叶级数表示为：

$${\sin }^3(x)=\frac{3}{4}\sin (x)-\frac{1}{4}\sin (3x)$$

${\cos }^3(x)$ 的推导

同样，利用三倍角公式：

$$\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$$

解出 ${\cos }^3(x)$：

$${\cos }^3(x)=\frac{3\cos (x)+\cos (3x)}{4}$$

因此，${\cos }^3(x)$ 的傅里叶级数表示为：

$${\cos }^3(x)=\frac{3}{4}\cos (x)+\frac{1}{4}\cos (3x)$$

综上，${\sin }^3(x)$ 和 ${\cos }^3(x)$ 的傅里叶级数表示分别为：

$${\sin }^3(x)=\frac{3}{4}\sin (x)-\frac{1}{4}\sin (3x)$$ $${\cos }^3(x)=\frac{3}{4}\cos (x)+\frac{1}{4}\cos (3x)$$

我注意到公式里直接使用函数f(x)计算傅里叶级数的每一项，这就说明不需要后面的和角公式推导，是这样吗？

是的，使用傅里叶级数直接计算每一项的傅里叶系数时，确实不需要使用和角公式进行推导。傅里叶级数方法本身就是通过计算特定形式的积分来确定函数的各项系数，从而表示原函数。

然而，和角公式在特定情况下（如处理某些常见的三角函数的幂次）可以简化傅里叶级数的表达式。具体来说：

• 傅里叶级数的计算步骤：
  1. 计算常数项 $a_0$。
  2. 计算余弦项的系数 $a_n$。
  3. 计算正弦项的系数 $b_n$。

对于函数 $f(x)$，其傅里叶系数的计算公式是：

$$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$$ $$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx$$ $$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx$$

对 ${\sin }^3(x)$ 和 ${\cos }^3(x)$ 的傅里叶系数计算

我们来看一下直接使用傅里叶级数公式计算 ${\sin }^3(x)$ 和 ${\cos }^3(x)$ 的傅里叶系数。

${\sin }^3(x)$ 的傅里叶系数计算

$$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^3(x)dx=0$$

由于 ${\sin }^3(x)$ 是奇函数，因此 $a_0=0$。

计算 $a_n$：

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^3(x)\cos (nx)dx=0$$

因为 ${\sin }^3(x)\cos (nx)$ 是奇函数，所以积分结果为 0。

计算 $b_n$：

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^3(x)\sin (nx)dx$$

利用三倍角公式 $\sin (3x)=3\sin (x)-4{\sin }^3(x)$，可以将积分简化：

$${\sin }^3(x)=\frac{3}{4}\sin (x)-\frac{1}{4}\sin (3x)$$

因此，

$$b_1=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\left(\frac{3}{4}\sin (x)-\frac{1}{4}\sin (3x)\right)\sin (x)dx=\frac{3}{4}$$ $$b_3=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\left(\frac{3}{4}\sin (x)-\frac{1}{4}\sin (3x)\right)\sin (3x)dx=-\frac{1}{4}$$

其他 $b_n$ 均为 0。因此，

$${\sin }^3(x)=\frac{3}{4}\sin (x)-\frac{1}{4}\sin (3x)$$

${\cos }^3(x)$ 的傅里叶系数计算

同理，对于 ${\cos }^3(x)$，我们计算傅里叶系数：

$$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^3(x)dx=0$$

因为 ${\cos }^3(x)$ 是偶函数，$a_0$ 不是零。

$$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^3(x)dx$$

计算 $a_n$ 和 $b_n$ 时，同样利用三倍角公式：

$$\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$$ $${\cos }^3(x)=\frac{3}{4}\cos (x)+\frac{1}{4}\cos (3x)$$

因此，对于 ${\cos }^3(x)$，其傅里叶系数为：

$$a_1=\frac{3}{4},a_3=\frac{1}{4}$$

其他 $a_n$ 和 $b_n$ 均为 0。所以：

$${\cos }^3(x)=\frac{3}{4}\cos (x)+\frac{1}{4}\cos (3x)$$

综上所述，直接计算傅里叶系数可以表示 ${\sin }^3(x)$ 和 ${\cos }^3(x)$ 为傅里叶级数形式，而和角公式在简化过程中起到辅助作用。