矩阵多项式对角化

化简矩阵多项式 $A^5-6A^4-3A^3+17A^2-A+19E$，其中 $A$ 是一个可以对角化的矩阵，$E$ 是单位矩阵。

首先，由于 $A$ 可以对角化，设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$，则存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $A=PD{P}^{-1}$，其中 $D$ 是对角矩阵，其对角线上元素为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$。

我们将多项式 $f(A)=A^5-6A^4-3A^3+17A^2-A+19E$ 应用于 $A$ 的对角化形式：

$$f(A)=f(PD{P}^{-1})=Pf(D)P^{-1}$$

由于 $D$ 是对角矩阵，计算 $f(D)$ 更为简单。具体来说，如果 $D$ 的对角线元素为 ${\lambda }_i$，则 $f(D)$ 的对角线元素为 $f({\lambda }_i)$，即：

$$f({\lambda }_i)={\lambda }_i^5-6{\lambda }_i^4-3{\lambda }_i^3+17{\lambda }_i^2-{\lambda }_i+19$$

因此，我们可以通过计算每个特征值 ${\lambda }_i$ 对应的 $f({\lambda }_i)$ 来化简矩阵多项式：

1. 计算特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ 对应的多项式值 $f({\lambda }_i)$。
2. 将这些值填入对角矩阵 $f(D)$ 中。

最终结果为：

$$f(A)=Pf(D)P^{-1}$$

其中 $f(D)$ 是一个对角矩阵，其对角线元素为 $f({\lambda }_i)={\lambda }_i^5-6{\lambda }_i^4-3{\lambda }_i^3+17{\lambda }_i^2-{\lambda }_i+19$。

这个过程说明了如何通过矩阵 $A$ 的特征值来化简矩阵多项式 $A^5-6A^4-3A^3+17A^2-A+19E$。