三倍角公式推导

三倍角公式是用于表示三倍角的正弦和余弦函数的公式。具体来说，三倍角公式如下：

sin (3 θ) = 3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)

cos (3 θ) = 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

下面是这些公式的推导过程。

首先，使用 $sin (a + b)$ 的和角公式：

sin (a + b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b)

令 $a = 2 θ$ ， $b = θ$ ，则：

sin (3 θ) = sin (2 θ + θ) = sin (2 θ) cos (θ) + cos (2 θ) sin (θ)

使用二倍角公式 $sin (2 θ) = 2 sin (θ) cos (θ)$ 和 $cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)$ ，代入上式：

sin (3 θ) = (2 sin (θ) cos (θ)) cos (θ) + (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)) sin (θ)

展开并化简：

sin (3 θ) = 2 sin (θ) cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ) - sin^{3} (θ)

= 3 sin (θ) cos^{2} (θ) - sin^{3} (θ)

使用 $cos^{2} (θ) = 1 - sin^{2} (θ)$ ，代入化简：

sin (3 θ) = 3 sin (θ) (1 - sin^{2} (θ)) - sin^{3} (θ)

= 3 sin (θ) - 3 sin^{3} (θ) - sin^{3} (θ)

= 3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)

所以， $sin (3 θ)$ 的三倍角公式为：

sin (3 θ) = 3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)

首先，使用 $cos (a + b)$ 的和角公式：

cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b)

令 $a = 2 θ$ ， $b = θ$ ，则：

cos (3 θ) = cos (2 θ + θ) = cos (2 θ) cos (θ) - sin (2 θ) sin (θ)

使用二倍角公式 $sin (2 θ) = 2 sin (θ) cos (θ)$ 和 $cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)$ ，代入上式：

cos (3 θ) = (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)) cos (θ) - (2 sin (θ) cos (θ)) sin (θ)

展开并化简：

cos (3 θ) = cos^{3} (θ) - cos (θ) sin^{2} (θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos^{3} (θ) - 3 sin^{2} (θ) cos (θ)

使用 $sin^{2} (θ) = 1 - cos^{2} (θ)$ ，代入化简：

cos (3 θ) = cos^{3} (θ) - 3 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ)

= cos^{3} (θ) - 3 cos (θ) + 3 cos^{3} (θ)

= 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

所以， $cos (3 θ)$ 的三倍角公式为：

cos (3 θ) = 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

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