复平面的坐标变换

问题描述

考虑 $z$ 平面上的三角形区域 $S$，其边界由 $x=1$, $y=1$, $y=1-x$ 给出。对于以下变换，绘制 $S$ 在 $w$ 平面上的影像区域 $S^{\prime }$，并给出区域边界的方程：

1. $w=z+(1-\sqrt{3}i)$；
2. $w=2e^{\frac{\pi i}{6}}z+(1-\sqrt{3}i)$；
3. $w=z^2$。

步骤

将复平面 $z$-平面中的区域 $S$ 映射到 $w$-平面，通常步骤如下：

1. 在 $z$-平面表征区域 $S$：

将区域的边界用方程或参数形式表示。例如本题三角形区域

$$S:\{\begin{array}{l}x=1,\\ y=1,\\ y=1-x\end{array}$$

先确认这三条直线的交点，进而确定三角形三个顶点。

2. 将边界线逐条带入变换 $w=f(z)$：

• 当 $f(z)$ 是仿射变换（例如 $w=az+b$，其中 $a\ne 0$ ）时，直线映射仍然是直线，圆映射仍然是圆或直线；因此可以将边界的直线方程变换到 $w$-平面得到新直线方程。
• 当 $f(z)$ 是非线性变换（例如 $w=z^2$），需要用参数法（或直接消元）求出映射曲线的明式方程。

3. 找出变换后区域 $S^{\prime }$ 的边界方程：

将上一步得到的三个映射结果写清楚：它们在 $w$-平面是三条什么曲线（或直线），然后就能圈出对应的三角形或其它形状。

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变换类型

一、仿射变换

仿射变换具有形如

$$w=az+b,a\ne 0,$$

的形式。记 $z=x+iy$，将 $w$ 写成

$$w=u+iv,$$

则

$$w=az+b⟹u+iv=a(x+iy)+b.$$

如果 $a=\alpha +i\beta$，$b=\gamma +i\delta$，则

$$az+b=(\alpha +i\beta )(x+iy)+(\gamma +i\delta )=(\alpha x-\beta y+\gamma )+i(\beta x+\alpha y+\delta ).$$

因此

$$u=\alpha x-\beta y+\gamma ,v=\beta x+\alpha y+\delta .$$

在这种变换下：

• 直线 ${\alpha }_{0}x+{\beta }_{0}y+{\gamma }_0=0$ 在 $z$-平面上，会映射成 $w$-平面上一条仍是直线的方程，可通过消去 $(x,y)$ 得到。

• 如果仅是平移 $w=z+b$，那 $(x,y)\mapsto (x+\gamma ,y+\delta )$，边界线方程非常容易转换：

  • $x=c$ 变为 $u=\gamma +c$；
  • $y=c$ 变为 $v=\delta +c$；
  • $y=mx+n$ 变为 $v=\delta +m(u-\gamma )+n$ 之类的简单直线方程。

示例（第一问）

$$w=z+(1-\sqrt{3}i),$$

则 $a=1$，$b=1-\sqrt{3}i$。记 $z=x+iy$，$w=u+iv$。由平移可知

$$u=x+1,v=y-\sqrt{3}.$$

边界直线：

1. $x=1⟹u=2$;
2. $y=1⟹v=1-\sqrt{3}$;
3. $y=1-x⟹v+\sqrt{3}=1-(u-1)$
   $⟹v+\sqrt{3}=2-u⟹u+v=2-\sqrt{3}.$
   这三条即是 $w$-平面的三条直线方程。

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二、非线性变换

若

$$w=f(z)$$

不是单纯的线性/仿射（如 $w=z^2$、$w=\frac{1}{z}$ 等），那直线一般会映射成圆或二次曲线。常用做法是：

1. 给直线参数
   比如本题中边界线 $x=1$，可写成

   $$z=1+it,t\in \mathbb{R}.$$

   然后代入 $w=f(z)$。如果能将 $t$ 消去，就能得到 $w$-平面的隐式方程；或者也可以直接把它当成参数方程。

2. 找顶点映射
   由于是三角形，映射后依然可以在曲线上找到对应的顶点，并将三条曲线连接起来。

示例（第三问）

$$w=z^2,z=x+iy.$$

• 对边界 $x=1$，令 $z=1+it$。 $$w=(1+it{)}^2=1+2it-t^2=(1-t^2)+i(2t).$$ 记 $w=u+iv$，则 $$u=1-t^2,v=2t.$$ 消去 $t$ 可得 $v=2t⟹t=\frac{v}{2}$，再带回 $u=1-(\frac{v}{2}{)}^2$，即 $$u=1-\frac{v^2}{4},$$ 在 $w$-平面是抛物线。同理可处理 $y=1$ 和 $y=1-x$ 两条边界。

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小结

1. 线性/仿射变换：

   • 直线 $\mapsto$ 直线，圆 $\mapsto$ 圆/直线，方便直接写出新方程；
   • 可先把顶点坐标带入 $w=az+b$，也可以将直线方程 $\alpha x+\beta y+\gamma =0$ 直接转换。

2. 非线性变换：

   • 多用“参数法”或“消元法”获取映射曲线；
   • 注重顶点映射，结合三条边界映射曲线画出新的区域形状。

以上是一般化的基本思路。先理解“直线 $\mapsto$ 直线/曲线”的规律，再针对线性与非线性分别处理，就能有条不紊地求得边界方程与映射后的区域。

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Cyletix

我有一个疑问， 这里能这么做，其实是假设w能够写成$w=u+iv$的形式，但是你怎么知道一个复平面下变换后的新坐标下，曲线能写成这样？是否会出现实部和虚部不能分成加法的形式的可能性？

当我们说“$w=u+iv$”时，实际上利用的是“复数与${\mathbb{R}}^2$的一一对应”。不管你怎么把$z$映射到$w$，只要$w$还在同样的复平面（或者说是$\mathbb{C}$本身，而不是跳到别的更抽象的空间），那就一定能找到“实部”和“虚部”两个实数，使得

$$w=u+iv,u,v\in \mathbb{R}.$$

这是复数最基础的定义特性：任何复数都可以分解成“实数部分”加“虚数部分乘$i$”的形式。

在你提到的映射或“坐标变换”场景中，出现的典型映射诸如

$$w=az+b,w=z^2,w=e^z,\dots$$

它们最终的像$w$仍然是一个复数，因此依然可以写成

$$w=\underset{=u}{\underbrace{\Re (w)}}+i\underset{=v}{\underbrace{\Im (w)}},$$

不会出现“实部和虚部不能分成加法的形式”这种情况。

简而言之：

1. 只要映射结果还在$\mathbb{C}$中，$w$就一定是个复数。
2. 任何复数$w$都能无歧义地分解成$u+iv$。
3. 在做几何或代数运算时，$\Re (w)$与$\Im (w)$可视为$w$在${\mathbb{R}}^2$中的两个坐标分量，这和普通的“$(x,y)$在二维坐标系中”是同一个道理。

因此，你看到我们在做“$w=z^2$”之类的变换时，最后总能写出

$$u(t)=\Re (z(t{)}^2),v(t)=\Im (z(t{)}^2).$$

并不需要额外假设“能拆”或“不能拆”；这是复数天生就带有的一种结构。只要还是在复平面里，$w$的实部和虚部就一定存在且能分离出来。