线性齐次差分方程

2. 线性齐次差分方程

• 定义：一般形式为： $$a_n+c_1{a}_{n-1}+c_2{a}_{n-2}+\cdots +c_k{a}_{n-k}=0$$
• 解法思路：假设解的形式为 $a_n=r^n$，代入得到特征方程： $$r^k+c_1{r}^{k-1}+\cdots +c_k=0$$ 解出 $r_1,r_2,\dots$，通解为： $$a_n=C_1{r}_1^n+C_2{r}_2^n+\dots$$
• 实根与复根：
  • $r_i\in \mathbb{R}$ 表示指数增长或衰减。
  • $r_i\in \mathbb{C}$ 表示振荡行为。
• 与矩阵的关系：可以用矩阵形式表示递推关系，矩阵的特征值即为递推关系的根。