域

定义：域是一个集合 $F$，其上定义了两个运算：加法和乘法，使得这个集合在这些运算下满足以下性质：

1. 加法运算：$(F,+)$ 是一个交换群。

   • 封闭性：对于任意 $a,b\in F$，$a+b\in F$。
   • 结合性：对于任意 $a,b,c\in F$，$(a+b)+c=a+(b+c)$。
   • 交换性：对于任意 $a,b\in F$，$a+b=b+a$。
   • 存在加法单位元：存在 $0\in F$，使得对于任意 $a\in F$，$a+0=a$。
   • 存在加法逆元：对于任意 $a\in F$，存在 $-a\in F$，使得 $a+(-a)=0$。

2. 乘法运算：$(F\setminus \{0\},\cdot )$ 是一个交换群。

   • 封闭性：对于任意 $a,b\in F$，$a\cdot b\in F$。
   • 结合性：对于任意 $a,b,c\in F$，$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$。
   • 交换性：对于任意 $a,b\in F$，$a\cdot b=b\cdot a$。
   • 存在乘法单位元：存在 $1\in F$，使得对于任意 $a\in F$，$a\cdot 1=a$。
   • 存在乘法逆元：对于任意 $a\in F$ 且 $a\ne 0$，存在 $a^{-1}\in F$，使得 $a\cdot a^{-1}=1$。

3. 分配律：

   • 对于任意 $a,b,c\in F$，$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ 和 $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$。

示例

• 有理数集合 $\mathbb{Q}$，实数集合 $\mathbb{R}$，复数集合 $\mathbb{C}$ 在通常的加法和乘法运算下都构成一个域。
• 有限域 ${\mathbb{F}}_p$，其中 $p$ 是素数。