厄米矩阵

简介

厄米矩阵 (Hermitian matrix) , 也称自伴随矩阵, 是共轭对称的方阵. 满足:

$$A=A^{†}$$

其中 $A^{†}$ 表示 $A$ 的共轭转置 (先取复共轭, 再转置) . 厄米矩阵中每一个第$i$行第$j$列的元素都与第$j$行第$i$列的元素的复共轭. 例如
$\left[\begin{array}{cc}3& 2+i\\ 2-i& 1\end{array}\right]$
就是一个厄米矩阵.
显然, 厄米矩阵主对角线上的元素都是实数, 其特征值也是实数. 对于实矩阵, 如果它是对称矩阵, 则它也满足厄米矩阵的定义, 即, 实对称矩阵是厄米矩阵的特例.

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定义

给定复数域上的方阵 $A=(a_{ij})$, 若对任意 $i,j$ 均有

$$a_{ij}=\overline{a_{ji}},$$

则称 $A$ 为埃尔米特矩阵.
即矩阵关于主对角线对称, 且元素为复共轭关系.

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性质

1. 主对角线实数性
   因为 $a_{ii}=\overline{a_{ii}}$, 所以所有对角元必为实数.
2. 特征值实数性
   对任意非零向量 $x$: $$x^{†}Ax\in \mathbb{R},$$ 从而 $A$ 的特征值皆为实数.
3. 酉相似可对角化
   存在酉矩阵 $U$ 使得: $$A=U\Lambda U^{†},$$ 其中 $\Lambda$ 为实对角矩阵. 这是复矩阵谱分解的核心结论.
4. 迹与行列式皆为实数
   因为 $A$ 的特征值实数, 故 $\mathrm{tr}(A)$ 与 $\det (A)$ 均为实数.
5. 实对称矩阵的推广
   若 $A$ 元素全为实数, 则 $A^{†}=A^T$, 此时 Hermitian 条件退化为 $A=A^T$.
   因此实对称矩阵是 Hermitian 矩阵的特例.

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几何意义

• Hermitian 矩阵对应一种复内积空间下的自伴随线性算子.
• 它们的本征向量构成复空间的正交基, 对应可观测物理量 (如量子力学中的哈密顿算符) .
• Hermitian 性保证算子对应的”测量结果” 为实数.

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示例

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& i& 0\\ -i& 3& 1+i\\ 0& 1-i& 4\end{array}\right],A^{†}=A.$$

对角化后可得实特征值与正交归一的特征向量.

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对比

类型	条件	特征值	对角化矩阵	对称性
实对称矩阵	$A=A^T$	实数	正交矩阵 $Q$	实对称
厄米矩阵	$A=A^{†}$	实数	酉矩阵 $U$	复共轭对称
反厄米矩阵	$A=-A^{†}$	纯虚数	酉矩阵 $U$	反共轭对称

Warning

Hermitian matrix不是哈密顿矩阵(Hamiltonian Matrix). 哈密顿矩阵是辛结构下定义的另一类矩阵, 与 Hermitian 性质不同.

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相关主题

• 酉矩阵: 保持内积不变的线性变换
• 反厄米矩阵: $A=-A^{†}$, 特征值为纯虚数
• 迹: Hermitian 矩阵的迹总为实数
• 矩阵指数: $e^{iA}$ 对 Hermitian $A$ 产生酉矩阵