方向导数

简介

方向导描述了多变量函数在某一点沿特定方向的变化率。直观地说，方向导数告诉我们，当我们沿着某个方向微小地移动时，函数值的变化量。
假设有一个定义在欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中的可微函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们想计算这个函数在点 $p$ 处沿着单位向量 $u$ 方向的方向导数。

定义

$$D_{u}f(p)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(p+hu)-f(p)}{h}$$

如果函数 $f$ 在点 $p$ 是可微的，方向导数可以通过函数的梯度 $\nabla f(p)$ 和方向向量 $u$ 的点积来计算：

$$D_{u}f(p)=\nabla f(p)\cdot u=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)u_i$$

这里，$\nabla f(p)$ 是 $f$ 在点 $p$ 处的梯度，$u$ 是一个单位向量，表示特定的方向，$u_i$ 是向量 $u$ 的第 $i$ 个分量。