曲面的切平面

定义

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，则过点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 且与曲面 $z=f(x,y)$ 相切的平面称为函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的切平面。

切平面方程可以表示为：

$$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

其中：

• $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$ 分别是函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的偏导数。
• $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ 是切平面上的任意一个向量。

性质

• 法向量: 向量 $\vec{n}=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)$ 是曲面 $z=f(x,y)$在点 $(x_0,y_0)$ 处切平面的法向量，垂直于切平面。
• 切平面与曲面: 切平面在点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 处与曲面 $z=f(x,y)$ 相切，即在该点处，切平面与曲面的切线重合。

推导

在曲面 $F(x,y,z)=0$ 的点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处，其切平面方程由法向量与平面内的增量向量的关系确定。由于切平面首先是一个 空间平面，其方程由法向量 $\vec{n}$ 与增量向量 $\Delta \vec{r}$ 的内积等于零的条件定义，即：

$$\Delta \vec{r}\cdot \vec{n}=0$$

法向量n

法向量 $\vec{n}$ 是曲面在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量，其分量为：

$$\vec{n}=\left(\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\right)$$

对于显函数 $z=f(x,y)$，隐函数形式为 $F(x,y,z)=f(x,y)-z$，法向量退化为：

$$\vec{n}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),-1\right)$$

增量向量r

增量向量 $\Delta \vec{r}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ 表示从点 $(x_0,y_0,z_0)$ 出发的无穷小位移，位于曲面上。由于增量是无穷小, 因此也可以视为在切平面上.

切平面方程

根据法向量 $\vec{n}$ 与增量向量 $\Delta \vec{r}$ 的内积为零的关系，切平面方程为：

$$\frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(z-z_0)=0$$

对于显函数 $z=f(x,y)$，显式切平面方程为：

$$z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$$

与二阶泰勒公式的关系

切平面方程实际上是二元函数泰勒展开式的一阶展开。当 $x$ 和 $y$ 非常接近 $x_0$ 和 $y_0$ 时，切平面可以很好地近似曲面。因此, 曲面的切平面可以描述为曲面在某一点的最佳线性近似.

计算步骤:

1. 确定切点: 给定点 $(x_0,y_0)$。
2. 计算函数值: 求出 $f(x_0,y_0)$。
3. 计算偏导数: 求出 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$。
4. 写出切平面方程: 将上述结果代入切平面方程即可。

示例

假设 $f(x,y)=x^2+y^2$, 求在点 $(1,2)$ 处的切平面.

1. 计算函数值:

$$f(1,2)=1^2+2^2=1+4=5$$

2. 计算偏导数:
   • $f_x(x,y)=2x\Rightarrow f_x(1,2)=2\cdot 1=2$
   • $f_y(x,y)=2y\Rightarrow f_y(1,2)=2\cdot 2=4$
3. 写出切平面方程:

$$z=5+2(x-1)+4(y-2)$$

简化后得到:

$$z=2x+4y-5$$

这就是 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在点 $(1,2)$ 处的切平面方程.

总结

通过求解二元函数在某点的切平面方程，我们可以近似地描述曲面在该点附近的局部性质。切平面在多元函数的微积分、优化问题等领域有着广泛的应用。