高阶导数

定义

y的n阶导数记作
$y^{(n)}=\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$
需要保证在x点n阶可导

常见无穷阶导数

${\left[e^x\right]}^{(n)}=e^x$
${\left[sin(x)\right]}^{(n)}=sin(x+n\cdot \frac{\pi }{2})$
${\left[cos(x)\right]}^{(n)}=cos(x+n\cdot \frac{\pi }{2})$
${\left[ln(1+x)\right]}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\cdot \frac{(n-1)!}{(1+x{)}^n}(n=1时成立)$
${\left[x^a\right]}^{(n)}=\frac{a!}{(a-n)!}\cdot x^{a-n}$

性质

加法封闭性

Transclude of 加法封闭性#算子的可加性

$(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$

莱布尼兹公式

$(u\cdot v{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\cdot u^{(n-k)}\pm v^{(k)}$
$n=1$ 时: $(u\cdot v{)}^{(1)}=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
$n=2$ 时: $(u\cdot v{)}^{(2)}=u^{\prime \prime }v+2u^{\prime }{v}^{\prime }+u{v}^{\prime \prime }$
$n=3$ 时: $(u\cdot v{)}^{(3)}=u^{\prime \prime \prime }v+3u^{\prime \prime }{v}^{\prime }+3u^{\prime }{v}^{\prime \prime }+u{v}^{\prime \prime \prime }$