单调性

简介

单调性是描述函数值随自变量在某个区间内变化趋势的核心概念. 一个函数可以是单调递增或单调递减, 也可以在不 同区间内表现出不同的单调性. 通过分析函数的单调性, 可以深入理解其图形的形状, 走向以及极值点的分布.

定义

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 区间 $I\subseteq D$.

• 单调递增 (Monotonically Increasing)
  如果对于区间 $I$ 内的任意两点 $x_1,x_2$, 当 $x_1<x_2$ 时, 恒有 $f(x_1)\le f(x_2)$, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增. $\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2⟹f(x_1)\le f(x_2)$
• 严格单调递增 (Strictly Increasing)
  如果对于区间 $I$ 内的任意两点 $x_1,x_2$, 当 $x_1<x_2$ 时, 恒有 $f(x_1)<f(x_2)$, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调递增. $\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2⟹f(x_1)<f(x_2)$
• 单调递减 (Monotonically Decreasing)
  如果对于区间 $I$ 内的任意两点 $x_1,x_2$, 当 $x_1<x_2$ 时, 恒有 $f(x_1)\ge f(x_2)$, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减. $\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2⟹f(x_1)\ge f(x_2)$
• 严格单调递减 (Strictly Decreasing)
  如果对于区间 $I$ 内的任意两点 $x_1,x_2$, 当 $x_1<x_2$ 时, 恒有 $f(x_1)>f(x_2)$, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调递减. $\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2⟹f(x_1)>f(x_2)$

计算

利用导数符号判断函数单调性. 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内可导:

• 递增判断:
  • 若在 $I$ 内恒有 $f^{\prime }(x)>0$, 则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递增.
  • 若在 $I$ 内恒有 $f^{\prime }(x)\ge 0$, 则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增.
• 递减判断:
  • 若在 $I$ 内恒有 $f^{\prime }(x)<0$, 则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递减.
  • 若在 $I$ 内恒有 $f^{\prime }(x)\le 0$, 则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递减.

关于严格单调性

如果 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 在区间 $I$ 内恒成立, 且使 $f^{\prime }(x)=0$ 的点仅为有限个孤立点 (即不构成任何子区间) , 那么函数 $f(x)$ 在 $I$ 上依然是严格单调递增的. 递减情况同理.

示例

示例 1: 函数 $f(x)=x^3$

求函数在 $\mathbb{R}$ 上的单调性.

1. 求导: $$f^{\prime }(x)=3x^2$$
2. 判断导数符号:
   对于任意实数 $x\in \mathbb{R}$, 都有 $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$.
3. 结论:
   等号仅在 $x=0$ 这一个孤立点成立. 根据补充说明中的判别准则, 函数 $f(x)=x^3$ 在整个定义域 $\mathbb{R}$ 上是严格单调递增的.

示例 2: 函数 $f(x)=-x^2$

求函数在 $\mathbb{R}$ 上的单调区间.

1. 求导: $$f^{\prime }(x)=-2x$$
2. 判断导数符号:
   • 当 $x>0$ 时, $f^{\prime }(x)<0$.
   • 当 $x<0$ 时, $f^{\prime }(x)>0$.
3. 结论:
   • 函数 $f(x)$ 在区间 $(0,\infty )$ 上严格单调递减.
   • 函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,0)$ 上严格单调递增.