极值

极值包括极大值和极小值。函数 $f(x)$ 在某点 $x=c$ 处取得极大值或极小值，这时函数值 $f(c)$ 分别称为极大值或极小值。

一阶导数判别法

$f(x)$ 在点 $x=c$ 处可导且 $f^{\prime }(c)=0$，则：

• 如果 $f^{\prime \prime }(c)>0$，则 $f(x)$ 在 $x=c$ 处取得极小值；
• 如果 $f^{\prime \prime }(c)<0$，则 $f(x)$ 在 $x=c$ 处取得极大值。

一阶导数判别法

对于在区间 $(a,b)$ 上连续的函数 $f(x)$，如果 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=c$ 左右两侧符号相反，则：

• 如果 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=c$ 左侧为正，右侧为负，则 $f(x)$ 在 $x=c$ 取得极大值；
• 如果 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=c$ 左侧为负，右侧为正，则 $f(x)$ 在 $x=c$ 取得极小值。