二阶线性微分方程解的结构

解的结构

要求解二阶非齐次线性微分方程, 则需要先讨论齐次的情况

二阶齐次线性微分方程
$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$
有以下定理成立

定理1

如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是二阶线性微分方程的两个解, 则其线性组合$y$也是它的解
$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x),C_1,C_2\in R$
但不一定是通解(或者说这个通解不能覆盖所有解的可能情况), 所以是个平凡的结论

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定理2

如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$的比值不为常数, $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\ne C$, 则称为线性无关, 这组解的性质非常良好, 其线性组合$y$即为通解
$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x),C_1,C_2\in R$
定理2可推广至高阶齐次线性微分方程

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在一阶线性微分方程中已经看到, 一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分组成: 对应的一阶齐次线性微分方程的通解和其本身的一个特解. 实际上高阶非齐次线性微分方程的通解具有同样的结构

定理3

设$y^{\ast }(x)$是二阶非齐次线性方程的一个特解, $Y(x)$是对应二阶齐次线性方程的通解, 则
$y=Y(x)+y^{\ast }(x)$
是二阶非齐次线性方程的通解

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定理4

设二阶非齐次线性方程右边$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$, 而$y_1^{\ast }(x)$,$y_2^{\ast }(x)$分别为
$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_1(x)$
$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_1(x)$
的特解, 则其特解的线性组合为原方程的一个特解:
$y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$

定理5

如果已知$y_1^{\ast }(x)$,$y_2^{\ast }(x)$为非齐次线性方程任意两个解，则两个解之差一定为对应齐次线性微分方程的解

这个结论基于线性微分方程的超定性质和叠加原理

1. 假设非齐次线性方程为：

$$L(y)=f(x),$$

其中$L$是线性微分算子，$f(x)$是非齐次项。
2. 如果$y_1^{\ast }(x)$和$y_2^{\ast }(x)$是此方程的解，则有：

$$L(y_1^{\ast })=f(x),L(y_2^{\ast })=f(x).$$

3. 根据线性微分算子的性质，对于任何两个函数$u(x)$和$v(x)$以及常数$a$和$b$，有：

$$L(au+bv)=aL(u)+bL(v).$$

4. 取$u(x)=y_1^{\ast }(x)$, $v(x)=y_2^{\ast }(x)$, 并设$a=1$, $b=-1$，我们得到：

$$L(y_1^{\ast }-y_2^{\ast })=L(y_1^{\ast })-L(y_2^{\ast })=f(x)-f(x)=0.$$

因此，$y_1^{\ast }(x)-y_2^{\ast }(x)$是对应齐次线性微分方程$L(y)=0$的解。

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求解

1. 齐次方程的求解：通常通过特征方程法或系数比较法来求解。
2. 非齐次方程的求解：可采用常数变易法、不定系数法或格林函数法。

常数变易法

如果已知一个通解
$y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$
则可以假设$C_1$, $C_2$为关于x的函数$C_1(x)$, $C_2(x)$

。。。（过程未完成）

最终得非齐次方程通解为
$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2-y_1\int \frac{y_{2}f}{W}dx+y_2\int \frac{y_{1}f}{W}dx$

y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix}$$ # 示例 >[!example]+ > > 考虑一个二阶齐次线性微分方程 > $$ y''-2y'+y = 0 $$ > 方程的一个解为$y_{1}(x)=e^{ x }$, 求以下方程的通解 $$y''-2y'+y=\dfrac{1}{x}e^{ x }$$ **解**: 令$y=e^{ x }u(x)$, 带入非齐次方程, 得到特解$u(x)$, 与$y_{1}(x)$线性组合即为通解