可化为齐次的方程

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$$\frac{dy}{dx}=\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}$$

1. 当$c_1=c_2=0$ 时, 方程是齐次的
2. 当$c_1=c_2\ne 0$ 时, 方程是非齐次的, 但可用下列方法变换化为齐次方程:

令$x=X+h$, $y=Y+k$ , (此处的h,k均为待定数, 可以为任意值)
则$dx=dX$, $dy=dY$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dY}{dX}=\frac{a_{1}X+b_{1}Y+a_{1}h+b_{1}k+c_1}{a_{2}X+b_{2}Y+a_{2}h+b_{2}k+c_2}$$

如果后面的常系数构成的方程组满足

$$\{\begin{array}{rl}{a}_{1}h+b_{1}k& +c_1=0\\ a_{2}h+b_{2}k& +c_2=0\end{array}$$

1. 且方程组的系数矩阵满足

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|\ne 0$$

则方程可化为齐次方程, 求出通解

$$\frac{dY}{dX}=\frac{a_{1}X+b_{1}Y}{a_{2}X+b_{2}Y}$$

求出通解后, 根据$x=X+h$, $y=Y+k$ 代换回$x$, $y$ 便得原方程通解

2. 若无法求出$h$, $k$

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=0$$

令$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\lambda$ , 则方程可化为:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{\lambda (a_{1}x+b_{1}y)+c_2}$$

换元 $v=a_{1}x+b_{1}y$ , $\frac{dv}{dx}=a_1+b_1\frac{dy}{dx}$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{b_1}(\frac{dv}{dx}-a_1)=\frac{v+c_1}{\lambda v+c_2}$$

这是可分离变量的微分方程

此方法可应用于更一般的方程

$$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)$$