朗斯基行列式

朗斯基行列式（Wronskian determinant）用来判断一组函数是否线性相关，在微分方程中非常有用。

定义

给定$n$个可微函数$y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$，其朗斯基行列式$W(y_1,y_2,\dots ,y_n)$定义为：

$$W(y_1,y_2,\dots ,y_n)(x)=\det \left[\begin{array}{cccc}{y}_1(x)& y_2(x)& \cdots & y_n(x)\\ y_1^{\prime }(x)& y_2^{\prime }(x)& \cdots & y_n^{\prime }(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_1^{(n-1)}(x)& y_2^{(n-1)}(x)& \cdots & y_n^{(n-1)}(x)\end{array}\right],$$

其中 $y_i^{(k)}(x)$表示函数$y_i(x)$的第$k$次导数。

性质

1. 线性无关性判定：如果在某一点$x_0$或某个区间上朗斯基行列式$W(y_1,y_2,\dots ,y_n)\ne 0$，则这组函数在该点或区间上线性无关。反之，如果$W(y_1,y_2,\dots ,y_n)=0$在一个区间上恒成立，那么这组函数在该区间上线性相关。

应用

• 验证解的独立性
• 证明解的存在性和唯一性。