变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的。但是有些特殊的变系数线性微分方程，则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程，因而容易求解，欧拉方程就是其中的一种

欧拉方程

$\sum_{n = 0}^{n} p_{n} x^{n} y^{(n)} = x^{n} y^{(n)} + p_{1} x^{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1} x y^{'} + p_{n} y = f (x)$

求解幂指函数问题通常会用到指数函数代换, 因为指数函数起着连接李群和李代数的桥梁作用。在这个框架下, $y = e^{t}$ 代表了从李代数（在这里可以粗略地认为是微分算子）到李群（在这里是指数函数形成的群）的指数映射。这种映射能将线性微分算子的性质转换为更易处理的代数问题。

求解

换元 $y = e^{t}$ , 则 $y^{(n)} = t^{n} e^{t}$

欧拉方程的一个显著特点是其系数是 $x$ 的幂次函数。因此，我们可以通过以下变数替换将其化为常系数微分方程：
设 $t = ln x$ ，则 $x = e^{t}$ 。
利用链式法则：

\frac{d}{d x} = \frac{d}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{d}{d t} \cdot \frac{1}{x}

更高阶导数同理：

\frac{d ^{n} y}{d x ^{n}} = (\frac{1}{x} \frac{d}{d t})^{n} y = x^{- n} \frac{d ^{n} y}{d t ^{n}}

替换并简化方程

将 $t = ln x$ 代入原方程，并利用上述导数关系，欧拉方程可以重写为一个常系数的微分方程。
设 $z (t) = y (e^{t})$ ，则 $z (t)$ 满足的方程形式为：

n = 0 \sum n p_{n} e^{(n - n) t} \frac{d ^{n} z}{d t ^{n}} = f (e^{t})

由于 $e^{(n - n) t} = 1$ ，方程简化为：

n = 0 \sum n p_{n} \frac{d ^{n} z}{d t ^{n}} = f (e^{t})

这时，我们得到一个常系数线性微分方程。

对于齐次方程
$\sum_{n = 0}^{n} p_{n} \frac{d ^{n} z}{d t ^{n}} = 0$
我们可以假设解的形式为 $z = e^{r t}$ ，代入得到特征方程：

n = 0 \sum n p_{n} r^{n} e^{r t} = 0

该特征方程为 $p_{0} r^{n} + p_{1} r^{n - 1} + \dots + p_{n - 1} r + p_{n} = 0$ ，解出 $r$ 的值，即为齐次方程的解。

非齐次方程
$\sum_{n = 0}^{n} p_{n} \frac{d ^{n} z}{d t ^{n}} = f (e^{t})$
可以通过待定系数法或变分参数法求解。

求解 $z (t)$ 之后，通过 $z (t) = y (e^{t})$ ，将解转换回原变量 $x$ ，即 $y (x) = z (ln x)$ 。

考虑具体方程：

x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + y = 0

变数替换： $t = ln x$ ， $y (x) = z (t)$
导数变换： $y^{'} = \frac{1}{x} z^{'}$ , $y^{''} = \frac{1}{x ^{2}} (z^{''} - z^{'})$
方程变为： $(e^{2 t}) \frac{1}{e ^{2 t}} (z^{''} - z^{'}) + 3 e^{t} \frac{1}{e ^{t}} z^{'} + z = z^{''} + 2 z^{'} + z = 0$
解齐次方程：假设 $z = e^{r t}$ $r^{2} + 2 r + 1 = 0 ⟹ (r + 1)^{2} = 0 ⟹ r = - 1$ 所以齐次解为 $z (t) = (c_{1} + c_{2} t) e^{- t}$
回到原变量： $y (x) = (c_{1} + c_{2} ln x) \frac{1}{x}$