标量场的曲面积分

计算标量场在曲面上的积分, 评估曲面上函数值乘以曲面元素面积的总和, 适用于求解物理量在曲面上的分布.
${\iint }_{S}f(x,y,z)dS$
解决不均匀曲面的质量问题

Wikipedia

要计算面积分, 首先在$S$上建立坐标系, 令$S$参数化为$\mathbf{x}(s,t)$, 其中$(s,t)$在某个平面上的区域$T$中变化. 由于法向量垂直于表面微元dS, 我们可以找dS切面上两个向量做外积, 结果就满足法向量的要求, 我们可以选取参数s,t的偏导数做外积

则函数$f$在曲面$S$的面积分为:

$${\iint }_{S}fdS={\iint }_{T}f(\mathbf{x}(s,t))\left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|dsdt$$

其中$\left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|$是$\mathbf{x}(s,t)$的偏导数的外积的向量的长度. 此外, $\left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|dsdt$在微分几何里又被称为流形$S$的面积元素 (Surface element) .

$dS=\frac{1}{\cos (\theta )}dxdy=\sqrt{{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2+1}$

Example

要找出由函数 $z=f(x,y)$ 描述的曲面的面积, 可以使用以下公式:

$$A={\iint }_{T}dS={\iint }_T\left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|dsdt$$

其中, $\mathbf{x}=(x,y,z)=(x,y,f(x,y))$. 因此,

$$\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x}=\left(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}\right)\text{且}\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial y}=\left(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$

因此,

$$\left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial y}\right|=\left|\left(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}\right)\times \left(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right|$$

计算叉积:

$$\left(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}\right)\times \left(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$$

因此,

$$\left|\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)\right|=\sqrt{{\left(-\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(-\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2+1}$$

即

$$\left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial y}\right|=\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2+1}$$

所以曲面的面积公式为:

$$A={\iint }_T\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2+1}dxdy$$

这就是一般以 $(x,y,z=f(x,y))$ 为参数的曲面其面积的标准公式. 可以注意到, 第二行中的向量 $\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$ 是曲面的法向量.

这个公式只在曲面嵌入在三维空间中时才成立.