分部积分法

简介

分部积分法, 是求解积分问题的一种重要方法. 它源于函数乘积的求导法则, 常用于对两个不同类型函数乘积的积分. 通过该方法, 可以将一个复杂的积分问题转化为一个更简单, 可直接求解的积分问题.

其思想核心是将待积函数看作一个函数的导数与另一个函数的乘积, 从而进行转化. 在离散的级数分析中, 其对应的方法称为分部求和 (Summation by parts) .

定义

分部积分法包括不定积分和定积分两种形式

分部积分法公式

若函数 $u=u(x)$ 和 $v=v(x)$ 连续可导, 则：
不定积分形式
$\int udv=uv-\int vdu$
定积分形式
${\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$

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公式使用的关键在于恰当地选择哪个函数作为 $u$ (被微分) , 哪个函数作为 $dv$ (被积分) . 一个好的选择可以使新积分 $\int vdu$ 比原积分 $\int udv$ 更简单.

推导

分部积分法可由函数乘积的求导法则 (Product Rule) 推导得出.
假设 $u(x)$ 与 $v(x)$ 是两个连续可导函数, 根据乘积法则, 它们乘积的导数为:

$$\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$

对等式两边同时求不定积分:

$$\int \frac{d}{dx}(uv)dx=\int \left(u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}\right)dx$$

根据微积分基本定理, 左侧积分为 $uv$. 右侧可以拆分为两个积分之和:

$$uv=\int udv+\int vdu$$

移项整理, 即可得到分部积分法的不定积分形式:

$$\int udv=uv-\int vdu$$

ILATE 规则

ILATE 规则

分部积分中, 在选择哪个函数作 $u$ 时, 有一个被广泛使用的经验法则, 称为 ILATE 规则. 该规则为选择 $u$ 的函数类型设定了优先级, 排在前面的函数求导后形式会变得更简单 (变为代数式) , 而排在后面的函数 (如指数, 三角函数) 积分后形式依然简单且可控.

• I (Inverse trigonometric) - 反三角函数: 如 $\arcsin x,\arctan x$
• L (Logarithmic) - 对数函数: 如 $\ln x,{\log }_{b}x$
• A (Algebraic) - 代数函数: 如 $x^2,3x+7$
• T (Trigonometric) - 三角函数: 如 $\sin x,\cos x$
• E (Exponential) - 指数函数: 如 $e^x,2^x$

应用规则
在被积函数中, 按照 I → L → A → T → E 的顺序, 排在前面的函数类型优先被选为 $u$. 剩余的部分则为 $dv$.

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应用

示例: 计算 $\int x\cos (x)dx$

1. 这是一个代数函数 ($x$) 与三角函数 ($\cos x$) 的乘积.
2. 根据 ILATE 规则, 代数函数 (A) 优先于三角函数 (T), 所以选择:
   • $u=x⟹du=dx$
   • $dv=\cos (x)dx⟹v=\int \cos (x)dx=\sin (x)$
3. 应用分部积分公式: $$\begin{array}{rl}\int x\cos (x)dx& =uv-\int vdu\\ & =x\sin (x)-\int \sin (x)dx\\ & =x\sin (x)-(-\cos (x))+C\\ & =x\sin (x)+\cos (x)+C\end{array}$$

典型应用

• **沃利斯积分 (点火公式) **: 用于计算定积分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx$ 和 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx$.
  

  定义

  沃利斯积分 (Wallis Integrals)

  对于正整数 $n$，定积分 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx$ 的值可用以下公式计算：

  $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}& \text{, 若 }n\text{ 为偶数}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}& \text{, 若 }n\text{ 为奇数}\end{array}$$

  使用双阶乘 (!!) 表示则更为简洁：

  $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi }{2}& \text{, 若 }n\text{ 为偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}& \text{, 若 }n\text{ 为奇数}\end{array}$$

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推广

分部积分法也存在一些其他表达形式或推广:

• 镶套积分形式: $$\int fgdx=f\int gdx-\int \left(f^{\prime }\int gdx\right)dx$$ 该形式在 $f$ 连续可导且 $g$ 连续时有效.
• 推广形式: 在黎曼-斯蒂尔吉斯积分和勒贝格-斯蒂尔吉斯积分中有更广泛的分部积分公式.