海维赛遮盖法

tip

这不是留数定理, 留数定理属于复分析求积分相关内容

有以下分式, 其中 $a,b$ 已知, 对其因式分解

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$$

则有$A=\frac{1}{a-b}$ , 也就是令 $x=a$ 带入原式去掉 $(x-a)$ 后剩下的部分:

$$A=\frac{1}{(x_A-b)}=\frac{1}{a-b}$$ $$B=\frac{1}{(x_B-a)}=\frac{1}{b-a}$$

$x_A$, $x_B$ 分别由$A,B$下方的根式 $x-a=0$, $x-b=0$ 决定.

推广

$$\frac{1}{(ax-b{)}^m(cx-d{)}^n}=\sum _{m=0}^m\frac{A_m}{(ax-b{)}^m}+\sum _{n=0}^n\frac{B_n}{(cx-d{)}^n}$$

其中

$$A_m=\frac{1}{(cx-d{)}^n}$$

x由A下方的根式 $ax-b=0$ 决定.
m<m的情况不能用, 比如$A_{m-1}$就只能等其他项确定后带入一个x验证

示例

例1

$$\frac{1}{(x-1{)}^2(x-2)}=\frac{A_1}{(x-1)}+\frac{A_2}{(x-1{)}^2}+\frac{B}{(x-2)}$$

由上述公式得
$A2=\frac{1}{(x_{A_2}-2)}=\frac{1}{1-2}=-1$
$B=\frac{1}{(x_{B_2}-1{)}^2}=\frac{1}{(2-1{)}^2}=1$
最后给x随便赋一个值, 根据等式求出$A_1$

例2

$\frac{1}{(x^2-x+1)(x-1)}=\frac{Ax+B}{(x^2-x+1)}+\frac{C}{(x-1)}$

$C=\frac{1}{x_C^2-x_C+1}=\frac{1}{1^2-1+1}=1$
再带入两个$x$的特值可得$A=-1$, $B=0$ ,$C=1$