积分表

幂指函数

$\int kdx=kx+C$
$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$
$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
$\int e^{x}dx=e^x+C$
$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)$

三角函数

$\int \sin xdx=-\cos x+C$
$\int \cos xdx=\sin x+C$
$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$
$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$
$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$
$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$
$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$
$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$
$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$
$\int \frac{1}{1-\sin x}dx=-\ln |1-\sin x-\cos x|+C$

反三角函数

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0)$
$\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arccos x+C$
$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
$\int -\frac{1}{x^2+1}dx=\text{arccot}x+C$
$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx=\text{arcsec}x+C$
$\int -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx=\text{arccsc}x+C$

反双曲函数

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+C=\text{arcsinh}\left(\frac{x}{a}\right)+C$$ $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C=\text{arccosh}\left(\frac{x}{a}\right)+C$$ $$\int \frac{1}{1-x^2}dx=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C=\text{arctanh}(x)+C(|x|<1)$$ $$\int \frac{1}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C=\text{arccoth}(x)+C(|x|>1)$$ $$\int \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}dx=-\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+C=\text{arcsech}(x)+C(0<x<1)$$ $$\int \frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}dx=\ln \left|x+\sqrt{x^2+1}\right|+C=\text{arccsch}(x)+C$$

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反圆锥曲线函数与对数函数的统一

总结

积分表达式	函数形式	复对数形式	定义域	值域
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$	$\arcsin \frac{x}{a}+C$	$-i\ln \left(ix+\sqrt{a^2-x^2}\right)+C$	$x\le a$	$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$
$\int -\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$	$\arccos \frac{x}{a}+C$	$-i\ln \left(x+i\sqrt{a^2-x^2}\right)+C$	$x\le a$	$[0,\pi ]$
$\int \frac{1}{1+x^2}dx$	$\arctan x+C$	$\frac{i}{2}\ln \left(\frac{1-ix}{1+ix}\right)+C$	$x\in \mathbb{R}$	$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
$\int -\frac{1}{1+x^2}dx$	$\mathrm{arccot}x+C$	$\frac{i}{2}\ln \left(\frac{x-i}{x+i}\right)+C$	$x\in \mathbb{R}$	$(0,\pi )$
$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx$	$\mathrm{arcsec}\frac{x}{a}+C$	$i\ln \left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}\right)+C$	$x\ge a$	$[0,\pi ]\setminus \frac{\pi }{2}$
$\int -\frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx$	$\mathrm{arccsc}\frac{x}{a}+C$	$i\ln \left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{a^2}}\right)+C$	$x\ge a$	$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\setminus 0$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx$	$\mathrm{arsinh}\frac{x}{a}+C$	$\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C$	$x\in \mathbb{R}$	$x\in \mathbb{R}$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx$	$\mathrm{arcosh}\frac{x}{a}+C$	$\ln \left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)+C$	$x\ge a$	$[0,\infty )$
$\int \frac{1}{1-x^2}dx$	$\mathrm{arctanh}x+C$	$\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)+C$	$x<1$	$(-\infty ,\infty )$
$\int -\frac{1}{1-x^2}dx$	$\mathrm{arccoth}x+C$	$\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)+C$	$x>1$	$(0,\infty )$
$\int \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}dx$	$\mathrm{arcsech}x+C$	$-\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)+C$	$0<x\le 1$	$(0,\frac{\pi }{2}]$
$\int -\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}dx$	$\mathrm{arccsch}x+C$	$\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C$	$x\in \mathbb{R}\setminus 0$	$(-\infty ,\infty )$

说明：

1. $a>0$ , 这是积分定义域中对参数的常见要求。
2. 常数 $C$ 表示积分常数，省略了上下文的定积分上下限。
3. 所有结果均基于复对数主值。

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