傅里叶级数

傅立叶级数的三角形式

周期为 $T$ 的函数 $f(x)$ 可以使用傅立叶级数表示为：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{2\pi nx}{T}+b_n\sin \frac{2\pi nx}{T}\right)$$

其中，$a_n$ 和 $b_n$ 是傅立叶系数，可以通过原函数积分计算得到：

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(x)\cos \frac{2\pi nx}{T}dx(n=0,1,2,\dots )$$ $$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(x)\sin \frac{2\pi nx}{T}dx(n=0,1,2,\dots )$$

周期窗口(积分区间)的选取是任意的，只要长度为一个完整周期即可

性质

• 定理: 收敛定理, Dirichlet充分条件

奇偶性

有些函数的傅立叶级数只包含正弦或者余弦项

• 奇函数展开为正弦级数
• 偶函数展开为余弦级数

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推导

三角级数

1. 周期函数

正弦函数是一种常见而简单的周期函数, 例如描述简谐振动的函数
$y=A\sin (\omega t+\varphi )$
实际问题中还有非正弦函数外的周期函数, 如矩形波
周期函数反映了客观世界的周期运动

2. 矩形波展开为正弦函数:

前面介绍过使用函数的幂级数展开函数, 周期函数可以展开为三角函数
$f(t)=A_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }{A}_n\sin (n\omega t+{\varphi }_n)$

• $A_0$称为直流分量
• $A_1\sin (\omega t+\varphi )$称为一次谐波或基波
• $A_n\sin (\omega t+\varphi )$ 称为n次谐波

傅里叶级数

使用三角公式变形级数项
$A_n\sin (n\omega t+{\varphi }_n)=A_n\sin (\varphi )\cos (n\omega t)+A_n\cos ({\varphi }_n)\sin (n\omega t)$
为了方便, 将上式符号改写为
$\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))$
可以得到，其中$a_n$ $b_n$均为常数。
这样一来我们把周期为$\frac{2\pi }{\omega }$的三角函数变成了周期为$2\pi$的三角级数
下面讨论以$T=2\pi$为周期的三角级数

三角函数系

例如: 1, $cos(x)$, $\sin (x)$, $\sin (2x)$, $\cos (2x)$…$\cos (nx)$, $\sin (nx)$
三角函数系有正交性: 任意两个三角函数系的乘积在区间$[-\pi ,\pi ]$上的定积分=0
证明使用积化和差

周期函数展开为三角函数系

如果周期函数可以展开为
$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))$
我们不禁要问$a_n$ $b_n$ 之间存在什么关系，换句话说，如何使用已知信息$f(x)$将$a_n$ $b_n$表示出来。
为此，我们进一步假设等式两端可以积分。

1. 计算$a_0$

将傅立叶级数的表达式在 $[-\pi ,\pi ]$ 区间上积分：

$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx={\int }_{-\pi }^{\pi }\left(\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))\right)dx$$

由于余弦函数和正弦函数在 $[-\pi ,\pi ]$ 内的积分为零，即：

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (nx)dx=0\text{(对于 n=0)}$$ $${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (nx)dx=0\text{(对于所有 n)}$$

所以，上述积分式简化为：

$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}dx=\frac{a_0}{2}\cdot 2\pi =a_0\cdot \pi$$

因此，

$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$$

2. 计算 $a_n$

为了得到 $a_n$，将原级数表达式乘以 $\cos (mx)$ （其中 $m$ 是任意正整数）后在 $[-\pi ,\pi ]$ 区间上积分：

$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (mx)dx={\int }_{-\pi }^{\pi }\left(\frac{a_0}{2}\cos (mx)+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)\cos (mx)+b_n\sin (nx)\cos (mx))\right)dx$$

根据三角函数的正交性：

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (nx)\cos (mx)dx=\{\begin{array}{ll}\pi ,& \text{当 }n=m\\ 0,& \text{当 }n\ne m\end{array}$$ $${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (nx)\cos (mx)dx=0\text{(对于所有 n 和 m)}$$

由此可得：

$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (mx)dx=a_m\cdot \pi$$

所以：

a_{m}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx) \, dx \quad \text{(其中 $m = 1, 2, 3, \dots$)} $$ #### 3. 计算 $b_n$ 类似地，为了得到 $b_n$，将原级数表达式乘以 $\sin(mx)$ 后在 $[- \pi, \pi]$ 区间上积分：

\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(mx),dx = \int_{-\pi}^{\pi} \left(\dfrac{a_{0}}{2}\sin(mx) + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)\sin(mx) + b_{n}\sin(nx)\sin(mx))\right) dx

$$根据三角函数的正交性：$$

\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\sin(mx),dx =
\begin{cases}
\pi, & \text{当 } n = m \
0, & \text{当 } n \neq m
\end{cases}

\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\sin(mx),dx = 0 \quad \text{(对于所有 $n$ 和 $m$)}

$$由此可得：$$

\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(mx),dx = b_m \cdot \pi

$$所以：$$

b_{m}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx) \, dx \quad \text{(其中 $m = 1, 2, 3, \dots$)}
$$

于是我们得到了傅立叶级数展开中的所有系数：
$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$
$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx,(n=1,2,\dots )$
$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx,(n=1,2,\dots )$
根据假设的前提 $T=2\pi /\omega$，可以将上式推广至任意周期函数

Dirichlet充分条件

一个定义在$[-\infty ,\infty ]$的周期为$2\pi$的函数$f(x)$，如果在一个周期上可积，那么一定可以做出傅立叶级数。然而$f(x)$的傅立叶级数是否一定收敛？如果它收敛，那它是否一定收敛于$f(x)$？一般来说，这两个答案都不是肯定的，那么 $f(x)$ 在怎样的的条件下，它的傅立叶级数不仅收敛，而且收敛于 $f(x)$ ？也就是说在满足什么条件下可以展开为傅立叶级数？

Info

设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，如果满足

• 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
• 在一个周期内至多只有有限个极值点
  那么。的傅立叶级数收敛，并且
• 当$x$是$f(x)$的连续点时，级数收敛于 $f(x)$
• 当$x$是$f(x)$的间断点时，级数收敛于$\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$

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复指数形式

下面借由欧拉公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 将傅里叶级数系数简化成复数指数形式。
$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{2\pi nx}{T}+b_n\sin \frac{2\pi nx}{T}\right)$
使用$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 将正弦和余弦表示为复指数形式

$$\cos \frac{2\pi nx}{T}=\frac{e^{i\frac{2\pi nx}{T}}+e^{-i\frac{2\pi nx}{T}}}{2}$$ $$\sin \frac{2\pi nx}{T}=\frac{e^{i\frac{2\pi nx}{T}}-e^{-i\frac{2\pi nx}{T}}}{2i}$$

代入傅立叶级数得到：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\left(\frac{e^{i\frac{2\pi nx}{T}}+e^{-i\frac{2\pi nx}{T}}}{2}\right)+b_n\left(\frac{e^{i\frac{2\pi nx}{T}}-e^{-i\frac{2\pi nx}{T}}}{2i}\right)\right]$$

重新整理，我们可以将上面的表达式转化为：

$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{i\frac{2\pi nx}{T}}$$

其中，复数系数 $c_n$ 定义为：

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(x)e^{-i\frac{2\pi nx}{T}}dx$$

复数系数与原傅立叶系数的关系

对于 $n>0$：

$$c_n=\frac{a_n-i{b}_n}{2}$$

对于 $n<0$：

$$c_n=\frac{a_{|n|}+i{b}_{|n|}}{2}$$

对于 $n=0$：

$$c_0=\frac{a_0}{2}$$

这样，原来的傅立叶级数形式就可以简化为复数指数形式。

总结

利用欧拉公式可以将傅立叶级数的三角形式转换为复数指数形式。这种形式在许多应用中更为方便，尤其在涉及到对称性或频谱分析时。傅立叶系数 $c_n$ 可以通过直接对函数 $f(x)$ 进行复数指数形式的积分来计算，并且与原三角形式中的 $a_n$ 和 $b_n$ 有直接的关系。