切平面的法向量

简介

三维空间中的隐函数 $F(x,y,z)=0$ 定义了一个二维曲面。在曲面 $F$ 上某点 $P$ 的切平面是曲面在点 $P$ 附近的最佳线性逼近。该切平面的法向量 $\vec{n}$ 平行于梯度 $\nabla F$，梯度指向函数值变化最快的方向，并且正交于切平面。

显函数形式

如果曲面可以局部表示为显函数 $z=f(x,y)$，可以将其写为隐函数：

$$F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$$

此时，应用梯度的定义可得到切平面的法向量：

$$\nabla F=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},-1\right)$$

梯度向量直接提供了切平面法向量的方向。

隐函数形式

显函数形式 $z=f(x,y)$ 仅在某些局部区域内有效，例如满足隐函数定理条件时 $\frac{\partial F}{\partial z}\ne 0$。但在更普适的情况下，例如球面 $x^2+y^2+z^2-1=0$，显式表示 $z$ 会存在多值性或局部不可微的问题。此时应使用隐函数梯度来定义法向量。

隐函数 $F(x,y,z)=0$ 在曲面上的梯度为：

$$\nabla F=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)$$

梯度 $\nabla F$ 指向 $F$ 增长最快的方向，同时正交于切平面。因此，切平面的法向量平行于梯度，可以通过梯度在给定点的具体计算得到。