空间曲线

一般方程

空间曲线通常由两个非线性方程组定义，空间中的点 $(x,y,z)$ 必须满足的条件：

$$\{\begin{array}{ll}F(x,y,z)& =0,\\ G(x,y,z)& =0.\end{array}$$

这两个方程定义的是两个曲面的交线，即该曲线是这两个曲面的交集。

参数方程

空间曲线的参数方程通过参数 $t$ 描述曲线上每一点，形式为：

$$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),$$

其中 $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ 是关于 $t$ 的实值函数。这种形式便于进行几何分析，如计算切线、曲率和曲线积分。

螺旋线的参数方程

螺旋线，特别是圆柱螺旋线的标准参数方程为：

$$\mathbf{r}(t)=(a\cos (t),a\sin (t),bt),$$

这里 $a$ 是螺旋半径，$b$ 是高度变化与参数 $t$ 成正比的螺距。

曲面的参数方程

曲面的参数化通常用两个参数描述，如球面的参数方程：

$$\mathbf{r}(u,v)=(r\sin (u)\cos (v),r\sin (u)\sin (v),r\cos (u)),$$

其中 $u\in [0,\pi ]$, $v\in [0,2\pi ]$, $r$ 是球面半径。

空间曲线在坐标面上的投影

空间曲线的坐标面投影通过忽略某一坐标实现，具体为：

• 在 $xy$-平面上：保留 $x(t)$ 和 $y(t)$，忽略 $z(t)$。
• 在 $xz$-平面上：保留 $x(t)$ 和 $z(t)$，忽略 $y(t)$。
• 在 $yz$-平面上：保留 $y(t)$ 和 $z(t)$，忽略 $x(t)$。
  这些投影对于工程设计和三维视觉分析极为重要。

空间曲线的切线与法平面

切线

空间曲线在参数 $t$ 处的切线由一阶导数 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)$ 确定，表示为：

$${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}\right),$$

如果 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)\ne 0$，则该点的切线方程为：

$$\mathbf{r}(s)=\mathbf{r}(t)+s{\mathbf{r}}^{\prime }(t),$$

其中 $s$ 是实数参数。

法平面

法平面由切线向量 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)$ 和二阶导数 ${\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)$ 的叉积 $\mathbf{n}(t)$ 定义，即：

$$\mathbf{n}(t)={\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t),$$

法平面的方程通过点法式表达：

$$\mathbf{n}(t)\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{r}(t))=0,$$

其中 $\mathbf{x}=(x,y,z)$。

曲率与挠率

曲率 $\kappa$ 描述曲线的弯曲程度，挠率 $\tau$ 描述曲线偏离振荡平面的程度：

$$\kappa =\frac{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)\Vert }{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^3},$$ $$\tau =\frac{({\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime \prime \prime }(t)}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t){\Vert }^2}.$$

弧长计算

弧长通过积分计算得出：

$$s={\int }_a^b\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert dt,$$

其中 $a$ 和 $b$ 定义了积分区间。