空间曲面

背景

在空间解析几何中, 关于曲面的研究有两个基本问题:

1. 已知曲面作为点的几何轨迹时, 建立这个曲面方程
2. 已知坐标间的方程, 研究方程表示的曲面形状

空间平面属于第一类, 空间曲面就是此类问题的推广.

常见曲面

球面

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2$
或
$A{x}^2+A{y}^2+A{z}^2+Dx+Ey+Fz+G=0$
特点是缺$xy$, $yz$, $zx$ 项, 平方项系数相同

旋转曲面

圆锥面

$z^2=x^2+y^2$

旋转单叶双曲面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

旋转双叶双曲面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$

柱面

准线

准线是生成柱面的固定曲线，例如直线、圆、抛物线等。

母线

母线是与准线平行的一组直线，沿着这些直线移动生成柱面。

圆柱面

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$

抛物柱面

$z=A{x}^2+By+C$

二次曲面

椭圆曲面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

椭球面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

单叶双曲面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

双叶双曲面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$

椭圆抛物面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z$

双曲抛物面(马鞍面)

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z$