空间直线

一般式

空间直线由两平面相交来定义, 将两空间平面方程联立

\begin{aligned} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{aligned} \right.

对称式/点向式

根据一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$与方向向量$s=(m,n,p)$定义

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

参数式

根据对称式方程, 设:

$$t=\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

则可以得到

$$\{\begin{array}{rl}x& =x_0+mt\\ y& =y_0+nt\\ z& =z_0+pt\end{array}$$

两直线夹角

定义: 两直线的方向向量的夹角 (锐角)
设直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的方向向量分别为 ${\mathbf{s}}_1=(m_1,n_1,p_1)$ 和 ${\mathbf{s}}_2=(m_2,n_2,p_2)$,
则 $L_1$ 和 $L_2$ 之间的夹角 $\varphi$ 由以下公式确定:

$$\cos \varphi =\frac{|{\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2|}{|{\mathbf{s}}_1||{\mathbf{s}}_2|}=\frac{|m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$$

锐角的确定方法

由于 $\cos \varphi$ 的值可以为负, 若直接计算 $\varphi =\arccos \left(\frac{{\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2}{|{\mathbf{s}}_1||{\mathbf{s}}_2|}\right)$ 可能得到钝角. 如果需要计算锐角, 可以取绝对值 $\left|\cos \varphi \right|$, 确保计算结果在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 范围内.

$${\varphi }_{\text{acute}}=\arccos \left(\left|\frac{{\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2}{|{\mathbf{s}}_1||{\mathbf{s}}_2|}\right|\right)$$