区间估计

区间估计是统计推断中用于估计总体参数的一种方法，它提供了一个范围（区间）而不是单一的点估计值。区间估计不仅提供了参数估计值，还给出了估计值的不确定性信息。区间估计的结果通常表现为一个包含总体参数的置信区间。

公式

对于总体均值 $\mu$ 的置信区间，假设样本均值为 $\bar{X}$，样本标准误为 $SE$，则置信区间可以表示为：

$$\bar{X}\pm Z_{\alpha /2}\cdot SE$$

其中，$Z_{\alpha /2}$ 是标准正态分布下对应置信水平的临界值。

当样本量较小且总体方差未知时，使用 t 分布：

$$\bar{X}\pm t_{\alpha /2,n-1}\cdot SE$$

其中，$t_{\alpha /2,n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的临界值。

推导

$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=\frac{[(X_1-\bar{X}{)}^2+(X_2-\bar{X}{)}^2+\cdots +(X_n-\bar{X}{)}^2]}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$
则有
$\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{S^2}{n}}}\sim t(n-1)$

示例

Example

估计某镇收获的苹果重量的母平均数𝝁的范围
已知

• 总体方差为$50^2$
• 随机抽取 100 个样本, 平均值为 350

求此时 𝝁 的 95% 置信区间

使用区间估计来求出总体均值 $\mu$ 的95%置信区间
已知总体方差 ${\sigma }^2=50^2$，样本大小 $n=100$，样本均值 $\bar{x}=350$

1. 枢轴量:
   由于已知总体方差 ${\sigma }^2$，我们可以使用正态分布的枢轴量。

$$Z=\frac{\bar{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$$

该枢轴量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。

2. 置信区间: 对于95%的置信水平，对应的标准正态分布的临界值 $z_{\alpha /2}=1.96$。
   解以下不等式来求 $\mu$ 的95%置信区间：

$$-1.96\le \frac{\bar{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\le 1.96$$ $$-1.96\le \frac{350-\mu }{50/\sqrt{100}}\le 1.96$$ $$350-9.8\le \mu \le 350+9.8$$

3. 结论: 母平均数 $\mu$ 的95%置信区间为：

$$[340.2,359.8]$$

区间估计的优点

1. 提供不确定性信息：相比点估计，区间估计提供了估计值的不确定性信息，更为全面。
2. 增强解释性：区间估计通过置信区间描述估计的可靠性，使得统计推断结果更具解释性。
3. 适应不同置信水平：可以根据需要选择不同的置信水平，灵活性高。