枢轴量

定义

枢轴量是一种由样本数据和未知参数共同组成的统计量，其分布在参数的不同取值下是已知的且不依赖于参数本身。
统计推断中，通过其已知分布特性，可以有效地进行参数估计和假设检验。
常见的枢轴量包括标准正态分布和 t 分布的统计量
枢轴量的主要用途是构造置信区间和进行假设检验。
由于其分布在不同参数取值下保持不变，因此可以利用其已知分布来推断未知参数的可能值范围或检验假设。

特性

1. 已知分布：枢轴量的分布是已知的，通常为标准分布（例如标准正态分布或 t 分布）。
2. 独立于参数：枢轴量的分布不依赖于未知参数本身。

构造

构造枢轴量的方法通常依赖于样本统计量和未知参数的关系。以下是几个常见的枢轴量示例：

1. 正态总体均值的枢轴量

假设我们有一个来自正态总体的样本 $X_1,X_2,\dots ,X_n$，其均值为 $\mu$，方差为已知的 ${\sigma }^2$。样本均值 $\bar{X}$ 和总体均值 $\mu$ 构成的枢轴量为：

$$Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$$

该枢轴量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。

2. 正态总体均值的未知方差枢轴量

假设方差 ${\sigma }^2$ 未知，可以使用样本标准差 $S$ 来代替 $\sigma$，构造 t分布的枢轴量：

$$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$$

该枢轴量 $T$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。

3. 二项分布的枢轴量

对于一个二项分布的样本比例 $\hat{p}$，其枢轴量为：

$$Z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$$

该枢轴量 $Z$ 近似服从标准正态分布 $N(0,1)$，尤其在样本量较大时。

应用

构造置信区间

利用枢轴量构造置信区间的过程如下：

1. 选定枢轴量，并写出其分布。
2. 根据置信水平 $\alpha$，确定相应的临界值。
3. 解不等式得到未知参数的区间。

例如，对于正态总体均值 $\mu$ 的置信区间：

1. 选定枢轴量 $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$。
2. 在 $95\%$ 置信水平下，标准正态分布的临界值为 $z_{\alpha /2}=1.96$。
3. 解不等式 $-1.96\le \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\le 1.96$，得到置信区间： $$\bar{X}-1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \mu \le \bar{X}+1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

假设检验

枢轴量也可以用于假设检验。例如，检验正态总体均值 $\mu$ 是否等于某个值 ${\mu }_0$：

1. 设定零假设 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 和备择假设 $H_1:\mu \ne {\mu }_0$。
2. 计算枢轴量 $Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$。
3. 根据标准正态分布的临界值，判断 $Z$ 是否落在拒绝域内，从而决定是否拒绝 $H_0$。