卡方分布

简介

${\chi }^2$ 分布是一种常用的连续概率分布，广泛应用于统计推断中，尤其是在方差分析、假设检验和置信区间估计中。${\chi }^2$ 分布由 $k$ 个独立标准正态分布的平方和构成，其中 $k$ 是自由度。

定义

如果 $N_1,N_2,\dots ,N_k$ 是 $k$ 个独立的标准正态随机变量，即 $N_i\sim N(0,1)$，则这些变量平方和的分布称为 ${\chi }^2$ 分布，具有 $k$ 个自由度：

$$X=\sum _{i=1}^k{N}_i^2\sim {\chi }^2(k)$$

其中，$X$ 表示具有 $k$ 个自由度的 ${\chi }^2$ 分布随机变量。

性质

1. 自由度 (Degrees of Freedom)：
   • 自由度 $k$ 是 ${\chi }^2$ 分布的参数，决定了其形状。自由度越大，分布越接近正态分布。
2. 期望值 (Mean) 和 方差 (Variance)：
   • 期望值：$E(X)=k$
   • 方差：$\text{Var}(X)=2k$
3. 形状：
   • ${\chi }^2$ 分布是右偏的，尤其是当自由度较小时。然而，随着自由度的增加，${\chi }^2$ 分布逐渐接近正态分布。
4. 非负性：
   • ${\chi }^2$ 分布的值非负，因为它是若干正态分布变量的平方和。

应用

1. 方差分析 (ANOVA)：
   • ${\chi }^2$ 分布在方差分析中用于检验组间方差是否显著不同。
2. 假设检验：
   • ${\chi }^2$ 检验用于独立性检验和适合度检验。例如，卡方独立性检验用于检验两个分类变量是否独立。
3. 置信区间：
   • ${\chi }^2$ 分布用于构建总体方差和标准差的置信区间。

示例

卡方检验 (Chi-Squared Test)

卡方检验是基于 ${\chi }^2$ 分布的一种常用假设检验方法，常用于独立性检验和适合度检验。

独立性检验

用于检验两个分类变量是否独立。假设我们有一个 $2\times 2$ 的列联表：

	事件A发生	事件A不发生	合计
事件B发生	$O_{11}$	$O_{12}$	$R_1$
事件B不发生	$O_{21}$	$O_{22}$	$R_2$
合计	$C_1$	$C_2$	$N$
我们计算期望频数 $E_{ij}$：

$$E_{ij}=\frac{R_i\cdot C_j}{N}$$

然后计算 ${\chi }^2$ 统计量：

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2\frac{(O_{ij}-E_{ij}{)}^2}{E_{ij}}$$