相关函数

相关函数我们主要研究的是宽平稳随机过程的相关函数，即能被记作 $R\left(t-s\right)$ 或 $R\left(\tau \right)$ 的相关函数，这样的相关函数具有五条基本性质和正定性。

基本性质

相关函数的五条基本性质

1. $R\left(0\right)\ge 0$，即 $R\left(t,t\right)\ge 0$
2. $R\left(\tau \right)=R\left(-\tau \right)$，即 $R\left(t,s\right)=R\left(s,t\right)$
3. $\left|R\left(\tau \right)\right|\le R\left(0\right)$
4. 存在 $\tau$，使得 $R\left(\tau \right)=R\left(0\right)$，那么对于任意 $t$，$R\left(t+\tau \right)=R\left(t\right)$
5. 如果 $R\left(\tau \right)$ 在 $\tau =0$ 连续，那么 $R\left(\tau \right)$ 在定义域内连续

前两条性质是符合直觉的基础性质。性质 3 说明 $\tau =0$ 处相关函数取得全局最大值，在邻域 $B\left(0,\delta \right)$ 内，相关函数先增后减。但相关函数在定义域内并非一定先增后减，例如 $\left(\delta ,+\infty \right)$ 内可以为非单调函数。如果在 $\left(\delta ,+\infty \right)$ 的子区间内相关函数递增，且函数值达到 $R\left(0\right)$，那么相关函数一定是周期函数，这由性质 4 保证。

证明 - 性质 3

根据 Cauchy-Schwarz 不等式有

其中

因此

$$\left|R\left(\tau \right)\right|\le {\left(\mathrm{E}{X}^2\left(t\right)\mathrm{E}{X}^2\left(t+\tau \right)\right)}^{1/2}={\left(R^2\left(0\right)\right)}^{1/2}=R\left(0\right)$$

证明 - 性质 4

考虑一个新式子

\mathrm E\,\left|X\left(t\right)-X\left(t+\tau\right)\right|^2 & = \mathrm E\left(X^2\left(t\right)+X^2\left(t+\tau\right)-2X\left(t\right)\,X\left(t+\tau\right)\right) \\\\ & = R\left(0\right)+R\left(0\right)-2R\left(\tau\right)=0 \end{aligned}$$ 其中使用了 $R\left(\tau\right)=R\left(0\right)$ 的条件 $$\begin{aligned} \left| R\left( t \right) -R\left( t+\tau \right) \right|&=\left| \mathrm{E}\left( X\left( 0 \right) \,X\left( t \right) \right) -\mathrm{E}\left( X\left( 0 \right) \,X\left( t+\tau \right) \right) \right|\\\\ &=\left| \mathrm{E}\left( X\left( 0 \right) \left( X\left( t \right) -X\left( t+\tau \right) \right) \right) \right|\\\\ &\le \left( \mathrm{E}\left( X^2\left( 0 \right) \right) \,{\mathrm{E}\left( X\left( t \right) -X\left( t+\tau \right) \right) }^2 \right) ^{1/2} \end{aligned}

因此 $0\le \left|R\left(t\right)-R\left(t+\tau \right)\right|\le 0$，$R\left(t\right)=R\left(t+\tau \right)$ 得证。

证明 - 性质 5

当 $\tau \to 0$ 时

$$\mathrm{E}{\left|X\left(t\right)-X\left(t+\tau \right)\right|}^2=R\left(0\right)+R\left(0\right)-2R\left(\tau \right)\to 0$$

后续证明同性质 (4) 的证明，此处省略。

正定性

一个函数是正定函数，如果如下形式的矩阵是正定函数

$$A={\left(f\left(t_i-t_j\right)\right)}_{ij}={\left[\begin{array}{ccccc}f\left(0\right)& \cdots & f\left(t_1-t_j\right)& \cdots & f\left(t_1-t_n\right)\\ & & & & \\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ & & & & \\ f\left(t_i-t_1\right)& \cdots & f\left(t_i-t_j\right)& \cdots & f\left(t_i-t_n\right)\\ & & & & \\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ & & & & \\ f\left(t_n-t_1\right)& \cdots & f\left(t_n-t_j\right)& \cdots & f\left(0\right)\end{array}\right]}_{n\times n}$$

考察宽平稳随机过程的相关函数的正定性，引入向量记号 $X={\left(X\left(t_1\right),\dots ,X\left(t_n\right)\right)}^T$，那么

对于 $\forall \alpha \in {\mathbb{R}}^n$，有

宽平稳随机过程的相关函数通过了正定性的验证。