向量

理论数学中向量的定义为任何在称为线性空间的代数结构中的元素。一般地，同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量.

向量可以映射到空间中的箭头、有序的数字列表$\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$

$(-4,2)$ 代表一个点，$(-4,2)$ 这种圆括号的表示方法同样可以用于表示向量；$\left[\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right]$ 每一对数给出唯一一个向量，而每一个向量恰好对应唯一一对数。（竖着写是为了区别于几何上的点）

长度

范数

向量的大小也称模长、长度(Magnitude)表示线性空间中从原点到该向量所指向的点的直线距离.
$\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2}$
在有限维赋范线性空间中，向量的模长也称为范数(Norm)

性质

• 非负性: 仅当$x\ne 0$时
• 齐次性
• 三角不等式:
  $\Vert \vec{x}+\vec{y}\Vert \le \Vert \vec{x}\Vert +\Vert \vec{x}\Vert$

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加法

向量加法和向量数乘、线性代数中每个主题都围绕着这两种运算

我比较喜欢把每个向量看作一种特定的运动，即在空间中朝着某个方向迈出一定距离，如果你先沿着第一个向量运动，然后再按照第二个向量所描述的运动方式运动，总体效果与你沿着这两个向量的和运动无异。（用物理来理解超级容易：合力）

你也可以把它看做数轴上加法的一种扩展，我们可以用这种方法教小孩做加法，比如2+5，考虑向右移动2步，再向右移动5步，总体效果与向右移动7步无异。（把向量分成基底，然后分别相加）

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right]$$

Transclude of 加法封闭性#^1

数乘

$2\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x\\ 2y\end{array}\right]$

“缩放” Scaling、“标量” Scalars

当向量与一个负数相乘时，比如-1.8，说明这个向量首先反向，然后伸长为原来的1.8倍。

这种拉伸或压缩，有时又使向量反向的过程被称为“缩放”。而我们选择的2、1/3、-1.8或者其他任何数，它们用于缩放向量，被称为“标量“。

实际上自始至终，数字在线性代数中起到的主要作用就是缩放向量。所以“标量”和“数字”两个词通常在这里可以相互替换。

减法

$v=\left[\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right],w=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right]$
$v-w=\left[\begin{array}{c}-1-2\\ 3-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right]$
把向量$v$和$w$看作两个点，$v-w$就是$v$相对于$w$的位置。如果把$v$和$w$看作从原点开始的箭头。$v-w$是从$w$头部到$v$头部的箭头。

向量减法$v-w$，相当于从向量$w$开始移动到向量$v$经历的步数和方向。

$v-w=\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right]$表示从$w$点开始，需要向左走3个单位、再向上走1个单位，才能到达$v$点。这个向量有时被称为从$w$到$v$的位移（displacement）。