对角矩阵

对角矩阵是一个主对角线之外的元素均为零的矩阵。通过相似变换$P^{-1}AP=D$得到对角矩阵$D$. 其一般形式可以表示为：

$$D=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]$$

其中$D$的对角线元素为${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$.

对角线元素的顺序必须与相似变换矩阵$P$中特征向量的排列顺序对应

对角矩阵的主要特性是它的乘法和加法运算比较简单，且主对角线上的元素即为该矩阵的特征值。

性质

对角矩阵有一个重要性质: 矩阵指数为对角矩阵时, 其指数矩阵 $e^D$ 可以直接通过对每个对角线元素进行指数运算：

$$e^D=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\lambda }_1}& 0& \cdots & 0\\ 0& e^{{\lambda }_2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & e^{{\lambda }_n}\end{array}\right]$$

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