施密特正交化

施密特正交化在向量空间中将一组线性无关的向量转化为一组正交向量

步骤

设我们有一组线性无关的向量 $\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$。
施密特正交化过程如下：

1. 设 $u_1=v_1$
2. 对于 $k=2,3,\dots ,n$，计算 $$u_k=v_k-\sum _{j=1}^{k-1}\frac{⟨v_k,u_j⟩}{⟨u_j,u_j⟩}{u}_j$$ 其中，$⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 表示内积。
3. 归一化每一个正交向量 $u_i$，得到单位向量 $e_i$： $$e_i=\frac{u_i}{\Vert u_i\Vert }$$

经过以上步骤，我们得到了一组正交且归一化的向量 $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$。

示例

假设我们有一组二维向量 $\{v_1,v_2\}$，其中

$$v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$

按照施密特正交化过程，我们进行如下计算：

1. 首先，设 $u_1=v_1$，所以

$$u_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

2. 然后，计算 $u_2$：

$$u_2=v_2-\frac{⟨v_2,u_1⟩}{⟨u_1,u_1⟩}{u}_1$$

其中，

$$⟨v_2,u_1⟩=1\times 1+0\times 1=1$$ $$⟨u_1,u_1⟩=1\times 1+1\times 1=2$$

因此，

$$u_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}0.5\\ 0.5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.5\\ -0.5\end{array}\right]$$

3. 最后，归一化 $u_1$ 和 $u_2$，得到单位向量： $$e_1=\frac{u_1}{\Vert u_1\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$ $$e_2=\frac{u_2}{\Vert u_2\Vert }=\frac{1}{\sqrt{0.5^2+(-0.5{)}^2}}\left[\begin{array}{c}0.5\\ -0.5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$

最终，我们得到一组正交且归一化的向量：

$$e_1=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],e_2=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$

这就是施密特正交化的基本过程和应用示例。